Aufgabe: Man untersuche, an welchen Stellen folgende Funktionen partiell differenzierbar sind (in alle Koordinatenrichtungen) und berechne dort ihre partiellen Ableitungen.
$$f_{b} : \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f_{b}(x, y, z)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \text { falls }(x, y, z) \neq 0 \text { und } f_{b}(0)=0$$
Problem/Ansatz:
Die Ableitung in die jeweilige Koordinatenrichtung für (x,y,z) nicht gleich null ist einfach:
$$\frac{\partial f_{b}}{\partial x}=\frac{\frac{d}{d x}\left(x^{2}+z^{2}+y^{2}\right]}{\left(x^{2}+z^{2}+y\right)^{2}}=\frac{2 x}{\left(x^{2}+z^{2}+y^{2}\right)^{2}}$$
$$\frac{\partial f_{b}}{\partial y}=\frac{\frac{d}{d y}\left[y^{2}+z^{2}+x^{2}\right]}{\left(y^{2}+z^{2}+x^{2}\right)^{2}}=\frac{2 y}{\left(y^{2}+z^{2}+x^{2}\right)^{2}}$$
$$\frac{\partial f_{b}}{\partial z}=\frac{\frac{d}{d z}\left[z^{2}+y^{2}+x^{2}\right]}{\left(z^{2}+y^{2}+x^{2}\right)^{2}}=\frac{2 z}{\left(z^{2}+y^{2}+x^{2}\right)^{2}}$$
Nun aber meine Frage: Was passiert genau im Nullpunkt?
Dazu habe ich diesen Ansatz: $$\frac{\partial f_{b}}{\partial x}(0,0,0)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h, 0,0)-f_{b}(0,0,0)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{h^{2}}-0}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}$$
Jetzt weiss ich aber nicht, was passiert. Kann mir irgenjemand helfen?
