Kurvendiskussion von Rationalen Funktionen

Question

Aufgabe

muss folgende Rationale Funktion untersuchen : (x^3-8) / (2x^2-8)

Problem/Ansatz:

Definitionsbereich habe ich ermittelt, Polstelle und schiefe Asymptote auch. Das Problem liegt bei den Extremwerten. Habe die erste Ableitung gemacht und Null gestellt.

Jedoch komme ich auf ein Ergebnis der Form ax^4-bx^2+cx, habe ein x herausgehoben somit lautet nun die Form: x*(ax^3-bx+c)

Nun ja und jetzt weiß ich nicht mehr weiter

Vielen dank für Hilfe

Comments

Tipp: Für |x| ≠ 2 ist \(f(x)=\dfrac x2+\dfrac2{x+2}\).

Answer 1

f = (x^3-8) / (2*x^2-8)
umformen
f = (x^3-8) * (2*x^2-8)(^-1)
u = x^3 - 8
u ´ = 3*x^2
v = (2*x^2-8)(^-1)
v´ = (-1)(2*x^2-8)(^-2) * 4x
v´ = (-4x*)(2*x^2-8)(^-2)

( u * v ) ´ u´ * v + u * v´

3*x^2 * (2*x^2-8)(^-1) + ( x^3 - 8 ) * (-4x*) * (2*x^2-8)^(-2)

3*x^2 / (2*x^2-8 )^(-1) + ( -4*x^4 + 32*x ) / (2*x^2-8)^(-2)

3*x^2 * (2*x^2-8 ) / (2*x^2-8 )^(-2) + ( -4*x^4 + 32*x ) / (2*x^2-8)^(-2)

( 6*x^4 - 24x^2 -4*x^4 + 32*x ) / (2*x^2-8)^(-2)

( 2*x^4 - 24x^2 + 32*x ) / (2*x^2-8)^(-2)

Extremwert : Zähler = 0
2*x^4 - 24x^2 + 32*x  = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
x * ( 2*x^3 - 24x + 32 )  = 0
x = 0
und
2*x^3 - 24x + 32 = 0
x^3 - 12x + 16   = 0
Raten oder Probieren
x = -4
(-4)^3 - 12 *(-4) + 16 = 0
-64 + 48 + 16 = 0 stimmt

x = 0
und
x = -4

Comments

Vielen Dank für Ihre Hilfe :)

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Warum willst du denn nicht zunächst kürzen?

Answer 2

Es ist schlau zunächst bei der Funktion die hebbaren Definitionslücken zu beseitigen.

Funktion und Ableitungen
f(x) = (x^3 - 8)/(2·x^2 - 8) = (x^2 + 2·x + 4)/(2·(x + 2))
f'(x) = (x^2 + 4·x)/(2·(x + 2)^2)
f''(x) = 4/(x + 2)^3

Extrempunkte f'(x) = 0
(x^2 + 4·x)/(2·(x + 2)^2) = 0 → x = -4 ∨ x = 0

f''(-4) = 4/(-4 + 2)^3 < 0
f(-4) =-3 → HP(-4 | -3)

f''(0) = 4/(0 + 2)^3 > 0
f(0) = 1 → HP(0 | 1)

Skizze

~plot~ (x^3-8)/(2x^2-8);{-4|-3};{0|1} ~plot~

Answer 3

Erst Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen:

\( \frac{(x-2)(x^2+2x+2)}{2(x-2)(x+2)} \). Dann kürzen \( \frac{x^2+2x+4}{2(x+2)} \). Dann ableiten:

f '(x)=\( \frac{x(x+4)}{2(x+2)^2} \)