Wie kommt man auf sin(arctan(x)) = x/√(1+x²)?

Question

Ich bin gerade bei den Trigonometrischen Substitutionen. Leider komme ich bei der Vereinfachung nicht weiter.

Wie kommt man auf :

sin(arctan(x)) = x/√(1+x²)

oder

cos(arcsin(x)) = √(1-x²)

oder den weiteren Formeln dieser Art?

Danke.

Comments

Vielleicht hilft schon mal das hier: https://www.mathelounge.de/612374/cos-arctan-t-1-sqrt-t-2-1.

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Ich kann alles nachvollziehen, aber wie man auf diesen Ansatz kommt verstehe ich nicht.

Answer 1

Hallo

 auf den Ansatz kommt man weil arctan(tan(x))=x

du musst also je nach Problem sin in tan oder tan in sin verwandeln, den Zusammenhang zw. cos und sin sollte man kennen, dadurch auch den zwischen tan=sin/cos  und sin oder cos.

Gruß lul

Comments

Wie funktioniert der Beweis mit dem Dreieck? Was ist das Ziel?

Ich verstehe es nicht.

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Hallo

 welches Dreieck? Ziel ist Zusammenhang zwischen sin, cos tan und die Umrechnung ineinander damit auch die der Umkehrfunktion,

Gruß lul

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Hat geklappt! Komme aber leider nur auf sechs Formeln. Gibt es noch mehr dieser Art?

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Hallo

solche Formeln lernt man nicht auswendig, sondern leitet sie bei Bedarf her. Deshalb hab ich auch keine Ahnung , was deine 6 Formeln sind, oder ob es mehr gibt.

Gruß lul

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Ich habe ja nie behauptet, dass ich sie auswendig gelernt habe. Ich wollte sie ja selber herleiten, sonst hätte ich ja nicht den Kommentar mit dem Dreieck erwähnt.

Die sechs Formeln oder "Umwandlungen" wären :

sin(arcsin(x))

sin(arctan(x))

cos(arcsin(x))

cos(arctan(x))

tan(arcsin(x))

tan(arcos(x))

Ein Nutzer sagte mir aber das ich 36 Formeln bilden könnte.

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Wenn du die sechs Funktionen sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x) und csc(x) nimmst, dann kannst du wohl 36 Formeln bilden.

Nimmst du nur die 3 Funktionen sin(x), cos(x) und tan(x) nimmst, dann kannst du noch 9 Formeln bilden.