Berechnen Sie g ° f und f ° g für die Abbildungen

Question

Aufgabe:

a) Berechnen Sie \( g \circ f \) und \( f \circ g \) für die Abbildungen

\( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, n \mapsto\left\{\begin{array}{ll} n+1 & : n \text { ungerade } \\ n-1 & : n \text { gerade } \end{array}, \quad g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, n \mapsto\left\{\begin{array}{ll} n-1 & : n \text { ungerade } \\ n+1 & : n \text { gerade } \end{array}\right.\right. \)

b) Seien \( A, B, C \) Mengen sowie \( f: A \rightarrow B \) und \( g: B \rightarrow C \) bijektive Abbildungen. Zeigen Sie, dass \( g \circ f: A \rightarrow C \) bijektiv ist und dass \( (g \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1} \) gilt.

Answer 1

hallo

(a)

n ungerade

(g∘f)(n) = g(f(n)) = g(n+1), n+1 gerade
= (n+1)+1 = n+2, n+2 ungerade

n gerade

(g∘f)(n) = g(f(n)) = g(n-1), n-1 ungerade
= (n-1)-1 = n-2, n-2 gerade

g∘f: ℤ→ℤ, n ↦ [(n+2, n ungerade), (n-2, n gerade)]

um f∘g zu erhalten, kannst du prinzipiell genauso vorgehen.


(b)
zeige, das g∘f: A→C bijektiv ist, wennn f: A→B und g: B→C
bijetive abbildungen sind.

das ist ein standardbeweis, der in jedem erstsemester-grundlagenskript für
mathematikstudenten steht, bloß das dort die mengen meistens L, M, N
statt A, B, C heißen. also brauchst du den beweis nur nachzuvollziehen und
die mengen entsprechend umzubenennen. :-)

(g∘f)^-1 = f^-1∘g^-1 kannst du beweisen, indem du zeigst das
(g∘f)∘(f^-1∘g^-1) = Id_c ist und das
(f^-1∘g^-1)(g∘f) = Id_a ist.
damit ist  f^-1∘g^-1 per definition invers zu g∘f, also gilt f^-1∘g^-1 = (g∘f)^-1