machen wir uns ein Bild:
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Der Lichtstrahl von \(S\) aus in Richtung \(P\) ist gelb, seine Reflexion rot gezeichnet. Der blaue Vektor ist der Normalenvektor \(n\) der Ebene \(E: \, x + 2y+ 3z = 16\).
Zur Spiegelung von \(S\) berechnet man zunächst den Abstand \(e\) von \(S\) zur Ebene \(E\). Es ist$$e = \frac 1{|n|} \left( n S - d \right)$$Nach Deinen Angaben ist$$n = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} \quad d = 16, \quad S = \begin{pmatrix} 4\\ 5\\ 8\end{pmatrix}$$Der Spiegelpunkt \(S'\) von \(S\) an \(E\) ist dann $$S' = S - 2e \frac n{|n|} = S - \frac 2{n^2}\left(n S - d \right)n = \frac 17 \begin{pmatrix} 6\\ -9\\ -10\end{pmatrix}$$Da \(P\) nicht in \(E\) liegt, muss man noch den Schnittpunkt \(Q\) der Geraden durch \(S\) und \(P\) mit der Ebene \(E\) bestimmen. Dazu setzt man die Geradengleichung$$g: \space x = S + (P-S)t$$ in die Ebenengleichung ein $$E: \space n x = d \\ n \left( S + (P-S)t_Q \right) = d \\ \implies t_Q= \frac{d-nS}{n(P-S)}$$Einsetzen in die Geradengleichung gibt den Schnittpunkt \(Q\)$$Q = S + (P-S) t_Q = \frac 1{14}\begin{pmatrix} 34\\ 59\\ 24\end{pmatrix}$$Die Gerade durch \(S'\) und \(Q\) ist die gesuchte Reflexion des Lichtstrahl.
