Beweis durch vollständige Induktion 1/3*((n+1)/n)n < 1

Question

Hallo kann mir bitte jemand erklären wie man 1/3*((n+1)/n)ⁿ  < 1 mittels vollständiger Induktion richtig beweist ?

Ich komm bis zum Induktionsschritt aber da hapats leider ..

danke im voraus !

Comments

hi

für welche n willst du das beweisen?

wenn n > 0 und ganzzahlig sein soll, sehe ich nur, dass die bedingung bei n = 1 erfüllt ist.

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Hallo :-) es geht dabei um eine unendliche Reihe n = 1 bis unendlich Lg

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gut, aber was ist mit der bedingung 1/3*(n+1/n)ⁿ < 1 ?

wenn ich n = 2 einsetze, bekomme ich 1/3*(2+1/2)² ≈ 2,08 > 1

   

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also wenn ich 2 einsetze komm ich auf 0.75 und wenn ich zb. 1000 einsetze 0,905 usw..

hier nochmal der screenshot is vielleicht besser zum lesen :)

lg

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Jau :-)  Mal wieder Verwirrung, weil beim einzeiligen Schreiben der Brüche keine Klammern gesetzt wurden. Es ist eben ein Unterschied, ob man schreibt:

1/3*(n+1/n)ⁿ oder 1/3*((n+1)/n)ⁿ

Der Fragesteller hat geschrieben: 1/3*(n+1/n)ⁿ . Das aber muss als 1/3*(n+(1/n))ⁿ aufgefasst werden (Punktrechnung vor Strichrechnung!), deshalb hat gorgar ganz richtig für n = 2 einen Wert größer als 1 herausbekommen.

Gemeint aber hat der Fragesteller, wie sein Bild zeigt: 1/3*((n+1)/n)ⁿ

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Hi ja sorry !!! genau gemeint hab ich den beweis für das Bild :)

Lg

Answer 1

$$(\frac{n+1}{n})^n = (1 + \frac{1}{n})^n$$

ist für n gegen unendlich gleich die eulersche Zahl.

und $$\frac{1}{3} \cdot e = 0,78... < 1$$

Vielleicht hilft das.

Comments

Hallo Thilo 87 :-) danke für die Vereinfachung mal

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Naja, wenn ein Beweis per vollständiger Induktion gefordert war, dann nicht :D Habe mir das jetzt nicht näher angeguckt, dachte mir nur, dass diese Info dir vielleicht beim Induktionsschritt helfen könnte.

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ja das hab ich so e gemeint :D danke ;)

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Wieso ist \(\frac{1}{3} \cdot e = 0,78... < 1\)?

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Weil e = 2,71828...

Das ist eine Konstante.

Achso, hatte mich da aber verschrieben oder keine Ahnung, wie ich auf 0,78 kam.

$$\frac{1}{3} \cdot e = 0,90609... < 1$$

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Vielleicht mit \(\frac\pi4\) verwechselt?

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Leute bald bin ich verwirrt ich glaub ich lass das vereinfachen lieber und wäre schon dankbar für den beweis (Bild) :) Lg

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warum willst du unbedingt vollständige induktion benutzen? es lässt sich nun einmall nicht alles damit lösen! zeig einfach, dass der grenzwert von (1+1/n)^n existiert und dass (1+1/n)^n < 3 ist und fertig ist die kiste!