Näherung zum natürlichen Logarithmus

Question

Aufgabe:

Hi, in einer Physik Aufgabe hab ich eine kleine mathematische Verständnisfrage, in der Lösung zu einer Aufgabe wird die Näherung ln((r+l)/r) durch l/r beschrieben. Dabei gilt ca. r=1km (was zu berechnen war) und l=10m (was gegeben war)

EDIT: Fehlende Klammern um den Zähler ergänzt. 
Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht warum diese Näherung gemacht werden darf, vor allem da r nicht bekannt war.

Answer 1

Man kan \(\ln((r+l)/r)\) umstellen:$$\ln\left( \frac {r+l}{r}\right) = \ln\left( 1 + \frac lr \right)$$Nun liegt der Wert \(l/r\) in Deinem Fall deutlich nahe \(0\). Wirft man einen Blick auf den Graphen von \(\ln(1+x)\) (die blaue Kurve)

  ~plot~ ln(1+x);x ~plot~ dann entspricht die Kurve in der Nähe von \(0\) in etwa \(f(x)=x\) (die rote Kurve). Bzw.:$$\ln(1 + x) \approx x \space \text{für } \space x \approx 0$$

Answer 2

in der Lösung zu einer Aufgabe wird die Näherung ln(r+l/r) durch l/r beschrieben.

Das ist mathematisch nicht haltbar. Nimm mal eine große Zahl für r und eine relativ kleine für l. Dann siehst du was nicht stimmen kann.

Answer 3

ln ( r + l/r )

l und r in km
r = 1 km
l = 0.01 km

ln ( 1 + 0.01/1 ) = ln ( 1.01 ) = 0.00995
näherungsweise
l / r = 0.01

Näherungsweise würde bei diesen Zahlen
also stimmen.

Comments

Welchen Sinn macht r + l/r ?

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r+l/r (ohne Klammerung) macht einheitentechnisch schon gar keinen Sinn.

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Stand so in der Aufgabenstellung.

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Sorry, war natürlich (r+l)/r

Es ging um die Integration des E-Feldes, bei dem 1/r integriert wurde mit den Grenzen von r bis l+r

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ln ( ( r + l ) / r )

l und r in km
r = 1 km
l = 0.01 km

ln ( ( 1 + 0.01 ) / 1 ) = ln ( 1.01 ) = 0.00995
näherungsweise
l / r = 0.01

Kommt dasselbe heraus.