Aufstellen von Erlösfunktion, Kostenfunktion und Gewinnfunktion

Question

Aufgabe:

Ein Hersteller von Spezialmaschinen erhalte beim Absatz von 7 Mengeneinheiten mit 21 Geldeinheiten den maximalen Erlös. Die sättigungsmenge liege bei 14 Mengeneinheiten.
Bei der Herstellung entstehen fixe Kosten von 15 Geldeinheiten. Bei der Produktion von 3 Mengeneinheiten betragen die Kosten 16 Geldeinheiten.

Beschreiben Sie aufgrund der vorliegenden Angaben
a) Die Erlösfunktion sowie die lineare Preis-Absatzfunktion
b) Die lineare Kostenfunktion
c) Die Gewinnfunktion.

Problem/Ansatz:

Kann jemand mir bitte mit der Lösung weiter helfen?

Comments

Was verstehst du denn nicht?

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Ich kann die Funktionen leider nicht aufstellen, aber wo es bei mir hängt, weiß ich selber nicht.

Hast du Ahnung von der Lösung?

Answer 1

Weil die Kostenfunktion K laut Aufgabenstellung linear ist, gilt

(1)        K(x) = m_Kx + n_K

und es müssen die Werte für m_K und n_K bestimmt werden.

Bei der Herstellung entstehen fixe Kosten von 15 Geldeinheiten. Bei der Produktion von 3 Mengeneinheiten betragen die Kosten 16 Geldeinheiten.

Also ist

        K(0) = 15
        K(3) = 16

und somit

        m_K·0 + n_K = 15
        m_K·3 + n_K = 16.

Löse das Gleichungssystem und setze in (1) ein.

Die sättigungsmenge liege bei 14 Mengeneinheiten.

Weil die Preis-Absatzfunktion P laut Aufgabenstellung linear ist, gilt

(2)        P(x) = m_Px + n_P

und es müssen die Werte für m_P und n_P bestimmt werden. Laut Definition der Sättigungsmenge ist

        P(14) = 0

und somit

        m_P·14 + n_P = 0.

Umstellen nach n_P liefert

        n_P = -14·m_P.

Einsetzen in (2) ergibt

(3)        P(x) = m_Px - 14m_P.

Erlösfunktion ist

        E(x) = x·P(x).

Wegen (3) ist also

(4)        E(x) = x·(m_Px - 14m_P)

beim Absatz von 7 Mengeneinheiten mit 21 Geldeinheiten den maximalen Erlös

Einsetzen in (4) ergibt

         21 = 7·(m_P·7 - 14m_P).

Löse nach m_P auf und setze in (3) und (4) ein. Die Information, dass der Erlös beim Absatz von 7 Mengeneinheiten maximal ist, habe ich nicht verwendet. Nachdem man den Wert von m_P bestimmt und in (4) eingesetzt hat, kann man das aber überprüfen indem man den Scheitelpunkt von E bestimmt.

Für die Gewinnfunktion G gilt

        G(x) = E(x) - K(x).