Alkohol auf der Piste: Entscheidungsregel für "Kampagne erfolgreich"?

Question

Aufgabe:

"Alkohol auf der Piste" erhöht bekanntlich das Verletzungsrisiko. Bei einer Untersuchung wurde festgestellt, dass 20% der Skifahrer unter Alkoholeinfluss standen. Um den Anteil alkoholisierter Skifahrer zu reduzieren, führt das Skigebiet eine Aufklärungskampagne durch. Der Erfolg der Kampagne soll durch einen Alternativtest untersucht werden. Dazu wird bei 200 zufällig ausgewählten Skifahrern ein Alkoholtest durchgeführt.

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass aufgrund des Test fälschlicherweise davon ausgegangen wird, dass die Aufklärungskampagne erfolgreich war (alpha-Fehler), soll möglichst knapp unter 5% liegen. Geben Sie die Entscheidungsregel an.

2. Nach der Kampagne hoffen die Betreiber, dass im Skigebiet der Anteil p der alkoholisierten Skifahrer auf 10% reduziert werden konnte. Berechnen Sie den Beta-Fehler im konstruierten Test.

3. Halten Sie diesen Test für geeignet, um festzustellen, ob die Kampagne erfolgreich war oder nicht? Begründen Sie.

Seit Stunden zerbrich ich mir den Kopf wegen dieser Aufgaben, habe aber noch keine Lösung gefunden.
Kann mir da jemand helfen.

Problem/Ansatz:

Ich weiss bereits, dass ein Fehler erster Art ein alpha-Fehler ist. Und ein Fehler zweiter Art somit ein beta-Fehler.

Zuerst muss Vohl eine Nullhypothese und eine Gegenhypothese aufgestellt werden.

Bei einem Fehler 1. Art wird die Nullhypothese verworfen, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft.

Bei einem Fehler 2. Art wird die Nullhypothese beibehalten obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

Answer 1

\(n=200\\ p=0.2\\ H_0:p_0=0.2\\ H_1:p_1 < 0.2\)

\(X:=\) Anzahl betrunkener Skifahrer
\(X \sim B\) bzw. \(X \stackrel{a}{\sim}N\)

1)
\(\alpha=0.05\)

Durch Approx. mit der NV ergibt sich \(\textrm{invNorm}(0.05;\sigma,\mu)\approx 30.7\).
Nachprüfen mit der Binom.-Vert. \(F(30;200;0.2) \approx 0.043\).
Unser Ablehnungsbereich lautet also \(\overline{A}=\{0,...,30\}\)

2)
\(H_1:p_1=0.1\)
Für unseren Annahmebereich gilt \(A=\{31,...,200\}\)
Somit beträgt die WSK eines \(\beta\)-Fehlers: \(P(X\geq 31) \approx 0.95\%\)