Lineare Algebra - Aufgabe zu (IFp)^n (Anzahl Elemente bestimmen)

Question

Aufgabe:

Man bestimme die Anzahl der Elemente des \(\mathbb{F}_{p}\)-Vektorraumes \((\mathbb{F}_{p})^{n}.\)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei deiser Aufgabe helfen.

Was weiss ich?

(1) Ich weiss, dass p eine Primzahl sein muss,  
(2) auch muss der Vektorraum berzüglich Addition und Multiplikation eine Gruppe sein, und ich denke eben das geht nur wenn p eine Primzahl ist. (Ich glaube wegen dem Inversen oder Neutralen Element. )

(3) Weiter muss für einen Vektorraum die Skalarmultiplikation und das Distributivgesetz gelten, welche die Verbindung zu Addition und Multiplikation sicherstellen bzw. verbinden. 

Answer 1

Hallo

 dass Fp ein Körper ist, musst du ja nicht zeigen. einen VR kann man über jeden Körper erstellen. (recht hast du damit, dass Fn, kein Körper ist wenn n nicht prim ist)

Du sollst nur die Anzahl der Elemente von (F_p)^n bestimmen, wobei die Komponenten des Vektors die Zahlen 0,1,2, bis p-1 sind. Um reinzukommen überleg erst mal (F2)^3  mit den 2 Komponenten 0 und 1 , , die kannst du leicht noch alle hinschreiben.

Dann (F₃)^3, dann (F₃)^n, das kannst du noch gut übersehen, wieviel Möglichkeit gibt es für jede der 3 bzw. dann der n Komponenten? Dann erst nimm Fp und verallgemeinere.

Du musst Fragen genauer lesen, dir dann klar machen, was gefragt ist, und das um klar zu kommen mit kleinen Beispielen durchspielen.

Gruß lul