Der Abstand von drei Punkten? (Vektoren/Skalar)

Question

Aufgabe:

Prüfe ob das Dreieck rechtwinklig oder gleichschenklig ist

a) A (0/0/4), B (2/2/2), C (0/3/1)

Problem/Ansatz: Moin!

Also, wir haben diese Aufgabe aus Hausaufgabe bekommen und ich bin mir gerade unsicher.

Meine Lehrerin sagte, dass sind keine Vektoren sondern Punkte, deswegen muss man den Abstand berechnen.

Es gibt ja die Formel für den Abstand von 2 Punkten, wie würde ich die jetzt für 3 Punkte anpassen, oder ist mein Ansatz falsch?

(b-a)²+(b2-a2)²+(b3-a3)^{2   (Formel für 2 Punkte)}

^{und das alles unter eine Wurzel.}

Danke für die Hilfe

Answer 1

Prüfe ob das Dreieck rechtwinklig oder gleichschenklig ist

Der Aufgabe zufolge muss es sich ja um ein Dreieck handeln. Dann guck doch einfach:

(1) ... wenn zwei der berechneten Längen gleich sind und eine größer als die anderen beiden, so handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.

(2) ... wenn es drei ungleiche Längen gibt und Du die größte durch \(a^2+b^2=c^2\)  (REVERSE PYTHAGORAS, um rechtw. Dreieck zu "beweisen") berechnen kannst, so handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.

Die Formel für zwei Punkte ist:$$d:=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$

Comments

Ah, also brauche ich nur 2 von den 3 Punkten, alles klar, danke! :)

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Eigentlich nicht. Berechne erst einmal alle Längen, dann kannst du mit Hilfe von (1) und (2) bei mir schlussfolgern.

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Hab das mal gemacht.

Für AB ist 3,46

Für BC ist 2,45

und für CA ist 3,46 rausgekommen.

Da zwei ja gleich lang sind und eine nicht, diese aber nicht größer als die anderen beiden ist, ist es ja weder gleichschenklig noch rechtwinklig?

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Gleichschenklig ist es schon einmal nicht, da hast du recht. Nun noch Pythagoras prüfen, ob es sich um ein rechtwinklges handelt.$$d_{AB}=2\sqrt{3}=3.464 \quad d_{AC}=3\sqrt{2}=4.243 \quad d_{BC}=\sqrt{6}=2.449$$$$d_{AC}>d_{AB}>d_{BC}$$ Also muss die Summe der Quadrate von \(d_{AB}\) und \(d_{BC}\)  dem Quadrat von \(d_{AC}\) entsprechen:$$(2\sqrt{3})^2+(\sqrt{6})^2=(3\sqrt{2})^2$$$$4\cdot 3+6=9\cdot 2$$$$18=18$$ Das ist eine wahre Aussage; deswegen rechtwinklig.

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Super! Ich danke dir, warst eine große Hilfe!

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Freut mich :) Gern geschehen!

Answer 2

Du berechnest die Verbindungsvektoren der einzelnen Eckpunkte des Dreiecks und prüfst dann mit dem Skalarprodukt ihre Beziehung.