Komplexe quadratische Gleichung, alle Lösungen in der Form a+bi.

Question

Bestimmen sie alle Lösungen der Gleichung : z²+(4+6i)z+10i-5=0

Geben sie die Lösung in der Form a+bi an.

Problem/Ansatz:

Ich habe es mit der PQ-Formel versucht aber da kommt irgendwas in die Richtung √2i raus und das ist ja eine Menge , daher hab ich quad. Ergänzung angewandt. Und wäre dann auf :

z^2+(4+6i)z+(2+3i)^2-(2+3i)^2+10i-5=0 gegekommen

Wenn man es bisschen zerlegt müsste es ja sein

(z+2+3i)z^2-(4+12i+9i^2)+10i-5=0 , da hab ich mir auch überlegt z^2 mit (4+6i)z in die Klammer zu nehmen aber 2+3i erschien einfacher , obs "erlaubt" ist , kann ich nicht sagen. Und weiter wüsste ich nun auch nicht . Weil wie sollte ich das Z hinter der Klammer auflösen und wie sollte ich weiter rechnen , vielleicht hab ich mir das auch selbst schon verbockt ... vielleicht findet jemand meinen Fehler.

Answer 1

Meine Berechnung:

Comments

Moin ,

das scheint mir alles eig. ganz logisch , könntest du mir nochmal erklären , wie man von √2i auf die 1+i kommt ?

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extra sehr ausführlich:

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oder mit Trick, wird es aber wohl keine Punkte von Prof geben ?

2i= 1 +2i -1=(i+1)^2 und dann noch die Wurzel ziehen

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Sorry , wenn ich jetzt weiter Fragen stelle vielleicht auch welche die eigentlich ziemlich offensichtlich sind für einen Mathematiker . Aber bei so einer Aufgabe gerate ich an Verständnisgrenzen .

Bei der 2 Reihe von z0 wird aus √2(cos(pi/4)+isin(pi/4) -> z0=√2(√2/2 + i √2/2) , da hast du es ja einfach so gesehen "gekürzt" und dann ausmultipliziert . Aber wie kann bei der gleichen Gleichung bei z1 e^i 5/4pi rauskommen , wenn es doch wie oben auch pi/2+2*pi/2 ist ?

Wir haben halt gefühlt alles mit quad. Ergänzung gemacht und der Prof ist ziemlich uneinsichtig wenn es um abkürzungen geht , wenn was nicht gezeigt wird , gibt es Punktabzug.

Answer 2

z^2+(4+6i)z+10i-5=0

z^2+(4+6i)z=5-10i

(z+2+3i)^2=5-10i+4+12i-9=2i

z₁=-2-3i+\( \sqrt{2i} \) =-2-3i+\( \sqrt{2} \)\( \sqrt{i} \)

z₂=-2-3i-\( \sqrt{2} \)\( \sqrt{i} \)

......................

Text erkannt:

\( \sqrt{i}=\sqrt{\frac{2 i}{2}}=\sqrt{\frac{1+2 i-1}{2}}= \)
\( =\sqrt{\frac{1+2 i+i^{2}}{2}}=\frac{i+1}{\sqrt{2}} \)
\( \sqrt{i}=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot(i+1) \)

z₁=-2-3i+\( \sqrt{2} \)*\( \frac{1}{2} \)*\( \sqrt{2} \)*(1+i)

z₁=-2-3i+1+i=-1-2i

z₂=-2-3i-(1+i)=-3-4i