Schreibe Zahl in komplexer Form a + bi

Question

Aufgabe:

Schreibe die Zahl als komplexe Zahl der Form a + bi

Problem/Ansatz:

Schreiben Sie folgende komplexe Zahl in der Form a + bi mit a, b ∈ R:
\( (- \frac 1 2 + \frac {\sqrt{3}}{2} )^n \) mit \( n \in \mathbb N \cup \{ 0\} \)

Ich verstehe es nicht ganz… in der Klammer steht die Zahl ja schon in komplexer Form, weiß gerade nicht was man da groß noch verändern kann, außer den Fall \( n =0 \) zu zeigen, was ja trivial ist…

Jemand ne Idee? Dankeschön!

Comments

\( (- \frac 1 2 + \frac {\sqrt{3}}{2} )^n \) Es fehlt da das i.

Answer 1

Aloha :)

Rechne mal die ersten Fälle für \(n\) durch:$$\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)^0=1$$$$\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)^1=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}$$$$\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14-i\,\frac{\sqrt3}{2}+i^2\,\frac34=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}$$$$\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)^3=-\frac18+3\,\frac14\,i\,\frac{\sqrt3}{2}-3\,\frac12\,i^2\,\frac34+i^3\frac{(\sqrt3)^3}{8}=-\frac18+\frac{3\sqrt3\,i}{8}+\frac98-\frac{3\sqrt3\,i}{8}=1$$Durch die \(1\) ist klar, dass sich die Ergebnisse in \((n\,\text{mod}\,3)\) wiederholen:$$\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)^n=\left\{\begin{array}{cl}1 & \text{für }n=0,3,6,9\ldots\\[1ex]-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2} & \text{für }n=1,4,7,10,\ldots\\[1ex]-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2} & \text{für }n=2,5,8,11,\ldots\end{array}\right.$$

Answer 2

Diese Potenzen (in denen du das i vergessen hast) haben 6 verschiedene Werte.

Berechne diese 6 Werte konkret für

n ∈  {0 , 6, 12, 18, ...}

n ∈  {1 , 7, 13, 19, ...}

n ∈  {2 , 8, 14, 20

...

n ∈  {5 , 11, 17,23, ...}

PS: Oh, ich sehe gerade, ich hatte die Vorzeichen von Real- und Imaginärteil vertauscht. Das Argument ist somit 120° und nicht -60°. Dann gibt es nur drei Lösungen (für n=0, n=1 und n=2).