Zeigen Sie, dass die Funktion monoton wachsend ist

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) stetig und differenzierbar auf \( (0, \infty) \). Es gelte \( f(0)=0 \) und die Ableitung \( f^{\prime} \) sei monoton wachsend. Zeigen Sie, dass die Funktion
\( g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \frac{f(x)}{x} \)
monoton wachsend ist.

Answer 1

Ich würde das ganze mit dem Mittelwertsatz probieren.

f ist auf [0,x0] stetig und auf (0,x0) diffbar

also ξ∈(0,x0) wobei x0>0 beliebig

f'(ξ)= \( \frac{f(x0)}{x} \)

somit steht da fa f'(x) = g:(0,inf)->\( \frac{f(x)}{x} \)

also ist g auch monoton wachsend

Answer 2

Der Mittelwertsatz besagt, dass für eine stetige und differenzierbare Funktion \( f \) auf einem geschlossenen Intervall \( [a, b] \) immer gilt: \( f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) \) für ein \( \xi \in(a, b) \). Da \( f \) auf \( \left[0, x_{0}\right] \) stetig und auf \( \left(0, x_{0}\right) \) differenzierbar ist, gilt der Mittelwertsatz für jedes geschlossene Intervall \( [0, x] \) mit \( x \in\left(0, x_{0}\right) \).

Da die Ableitung \( f^{\prime} \) monoton wachsend ist, ist sie entweder immer positiv oder immer negativ. Wenn die Ableitung immer positiv ist, dann gilt: \( f(x)-f(0)=f^{\prime}(\xi) x>0 \) für alle \( x>0 \) und ein \( \xi \in(0, x) \). Das bedeutet, dass für alle \( x>0, f(x)>0 \) ist. Daher ist die Funktion \( g(x)=\frac{f(x)}{x} \) auf \( (0, \infty) \) monoton wachsend.

In ähnlicher Weise kann gezeigt werden, dass \( g \) auch monoton wachsend ist, wenn die Ableitung von \( f \) immer negativ ist.

- von ChatGPT (Angaben ohne Gewähr)