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Aufgabe:

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Zeigen Sie unter Verwendung des Mittelwertsatzes:
(a) (2 Punkte) Ist \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar und \( f^{\prime} \) beschränkt, dann ist \( f \) gleichmäßig stetig.
(b) (3 Punkte) Für alle \( x>0 \) ist \( \frac{x}{1+x}<\log (1+x)<x \).

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Also schon mal zu b)

sei f(x) = ln(1+x) -x ist auf [0,xo] stetig und (0,x0) diffbar.

Nach Mittelwertsatz exist: ξ∈(0,x0)

sd: f'(ξ)= \( \frac{f(x0)-f(0)}{x0-0} \)

=> \( \frac{1}{1+ξ} \)-1= \( \frac{ln(1+x0)-x0}{x0} \)

\( \frac{x0}{1+ξ} \)-xo = ln(1+x0)-x0     

da 0<ξ<xo

\( \frac{x0}{1+0} \)>ln(1+x0) und  \( \frac{x0}{1+x0} \)< ln(1+x0)


Und jetzt die a)

f'(x) ist beschränkt => es existiert Obere Schranke L.

f'(x) <L für alle x∈R


da f diffbar ist gilt nach Mittelwert Satz

ξ∈(x,y)  x,y beliebige elemte aus R

s.d

f'(ξ)=\( \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \)

f'(ξ)* (y-x)= f(y)-f(x)

L*(y-x)> f(y)-f(x)

Hoffe du siehst worauf das hinaus läuft.

Wenn nein: Definition der Lipschitzstetigkeit

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