Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass die Reihe konvergiert.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass die Reihe konvergiert.

\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{2})^2\)

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

Für jedes \(n\in\N\) definiere eine Funktion \(f_n\colon[2,3]\to\R\) durch \(f_n(x)\coloneqq\sqrt[n\,]x\).
Nach besagtem Satz gibt es ein \(c_n\in(2,3)\) mit$$\quad\frac{f_n(3)-f_n(2)}{3-2}=f^\prime_n(c_n).$$Daraus folgt$$\quad\large0<\sqrt[n\,]3-\sqrt[n\,]2=\tfrac1nc_n^{\tfrac1n-1}\le\tfrac1n.$$Damit ist \(\displaystyle\,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}\,\) eine konvergente Majorante für die fragliche Reihe.

Comments

Danke, dass hat mir sehr geholfen, hätte da aber noch ein paar Fragen, wenn Sie Zeit hätten.
Warum verschwindet das Hoch 2 und ist beim abschätzen nicht mehr dabei?
Wie kommen Sie auf das \(\tfrac1nc_n^{\tfrac1n-1}\)?

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Zu (2). Es ist \(f_n(x)=\sqrt[n\,]x=x^{\frac1n}\) und damit \(f^\prime_n(x)=\frac1nx^{\frac1n-1}\). Setze \(x=c_n\).

Zu (1). Das Hoch 2 verschwindet nicht, sondern erscheint erst am Schluss der Rechnung: Aus$$\quad0<\sqrt[n\,]3-\sqrt[n\,]2\le\large\tfrac1n$$folgt$$\quad\left(\sqrt[n\,]3-\sqrt[n\,]2\right)^2\le\large\tfrac1{n^2}.$$