Also schon mal zu b)
sei f(x) = ln(1+x) -x ist auf [0,xo] stetig und (0,x0) diffbar.
Nach Mittelwertsatz exist: ξ∈(0,x0)
sd: f'(ξ)= \( \frac{f(x0)-f(0)}{x0-0} \)
=> \( \frac{1}{1+ξ} \)-1= \( \frac{ln(1+x0)-x0}{x0} \)
\( \frac{x0}{1+ξ} \)-xo = ln(1+x0)-x0
da 0<ξ<xo
\( \frac{x0}{1+0} \)>ln(1+x0) und \( \frac{x0}{1+x0} \)< ln(1+x0)
Und jetzt die a)
f'(x) ist beschränkt => es existiert Obere Schranke L.
f'(x) <L für alle x∈R
da f diffbar ist gilt nach Mittelwert Satz
ξ∈(x,y) x,y beliebige elemte aus R
s.d
f'(ξ)=\( \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \)
f'(ξ)* (y-x)= f(y)-f(x)
L*(y-x)> f(y)-f(x)
Hoffe du siehst worauf das hinaus läuft.
Wenn nein: Definition der Lipschitzstetigkeit
