Betrachte f(x)=e^x -1 -x und ein beliebiges x > 0.
(Für x=0 ist die Ungl. ja sicherlich OK)
MWS liefert
\( \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = f'(u) \) mit einem u∈]0,x[.
Hier also
\( \frac{e^x-1-x-0}{x} = f'(u) =e^{u}-1 \)
Wegen u>0 ist eu > 1 also eu-1 > 0.
Und du hast \( \frac{e^x-1-x}{x} > 0 \).
Wegen x>0 also auch \( e^x-1-x > 0 \).
