Ungleichung mit Hilfe des Mittelwertsatzes

Question

Aufgabe:

Beweisen sie die folgende Ungleichung

a) (1+x)^a ≥ 1+a*x ∀x,a∈ℝ mit x>-1 und a≥1

b)\( \frac{x}{1+x} \) ≤ ln(1+x) ≤x ∀x∈ℝ mit x≥0

Hinweis: Mittelwertsatz

Problem/Ansatz:

Zu a) habe ich leider keine Idee

Zu b)

Sei f(t)=ln(1+t) in [0,x] liefert

f‘(t)= \( \frac{ln(1+x)-ln(1+0)}{x-0} \) = \( \frac{ln(1+x)-ln(1)}{x} \) wir wissen ln (1)=0

= \( \frac{1}{1+ζ} \) mit 0≤ζ≤x

\( \frac{1}{1+ζ} \) Ist monoton fallend dann gilt 1≥\( \frac{1}{1+ζ} \)≥\( \frac{1}{1+x} \)

Und damit

\( \frac{1}{1+x} \)≤\( \frac{ln(1+x)}{x} \)

≤1 bzw \( \frac{x}{1+x} \)≤ln(1+x)≤x, weil x≥0

Wäre das so richtig ?

Answer 1

Bei a) klappt es mit Fallunterscheidung und Mittelwertsatz:

1. Fall: x=0 Da stimmt es ja.

2. Fall x>0. Da betrachte (f(x)-f(0))/(x-0) = f ' (t) mit t zwischen 0 und x.

(( 1+x)^a - (1+0)^a ) / (x-0) = a*(1+t)^a-1 ≥ a (denn für t>0 ist (1+t)a-1 ≥ 1)

==>  ((1+x)^a - 1  ) / x   ≥  a  | *x (und x>0)

==>   (1+x)^a - 1    ≥  a*x

==>  (1+x)^a    ≥  a*x +1 

3. Fall -1 < x < 0

Da ist es (( 1+x)^a - (1+0)a ) / (x-0) = a*(1+t)^a-1 ≤ a (denn für -1<t<0 ist (1+t)^a-1 ≤ 1)

==>    ((1+x)^a - 1  ) / x   ≤ a | *x (und x<0) also wird ≥ aus ≤)
==>  (1+x)^a - 1    ≥  a*x
==>  (1+x)^a    ≥  a*x +1. q.e.d.

Comments

Wäre b) richtig ?

---

Ja, sieht gut aus.