Beweis mit Hilfe des Mittelwertsatzes, f´(c)= f(c)

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine nullstellenfreie, differenzierbare Funktion f : [0, 1] → R mit
f(0) = 1, f(1) = e.
Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass es ein c ∈ (0, 1) gibt, so dass
f´(c) = f(c)

Problem/Ansatz:

Ich versuche nun schon seit einigen Tagen diese Aufgabe zu lösen und komme nicht weiter. Weiß jemand wie man diese Aufgabe löst, bzw. kann einen Tipp geben, in der Aufgabenstellung steht ja bereits schon ein Tipp.

Comments

Anderer Ansatz: betrachte g(x)=f(x)/e^x  dann g(0)=g(1)=1 folg es gibt g'=0 daraus dann f=f'

lul

Answer 1

Da f Nullstellenfrei ist und differenzierbar, kann man den reellen logarithmus auf f anwenden und erhält eine differenzierbare Funktion g=log(f) : [0,1]→ℝ.

Es gilt:

g(0) = log(f(0))=log(1)=0

g(1)= log(f(1)) = log(e) =1

Nach dem Mittelwertsatz ex. nun ein c ∈ (0,1) mit g´(c) = 1= log(f(c))´= f´(c)/f(c) ⇔ f´(c) = f(c)

Ich hoffe das hat geholfen. LG :)

Comments

Wow, ja, das ist genial! Vielen, vielen Dank!