Sigma Algebren auf [0,1]

Question

ich bräuchte etwas Hilfe bei folgender Aussage:

Man finde je zwei σ-Algebren mit endlich bzw. unendlich vielen Elementen auf Ω=[0,1].

Was mir als erstes einfällt ist die σ-Algebra A={∅,Ω}. Dann hätte ich noch A2={∅,Ω,[0,1/2),[1/2,1]}. Diese beiden haben ja mal auf jeden Fall unendlich viel Elemente. Aber warum soll es nur zwei mit unendlich vielen Elementen geben, man kann ja immer das Intervall [0,1] in 2 verschiedene Teile teilen?

Und die Algebren mit endlich vielen Elementen verstehe ich auch nicht oder wird hier das Intervall nicht mit unendliche vielen Elementen beschrieben?

Comments

Was mir als erstes einfällt ist die σ-Algebra A={∅,Ω}. Dann hätte ich noch A2={∅,Ω,[0,1/2),[1/2,1]}. Diese beiden haben ja mal auf jeden Fall unendlich viel Elemente

Das sind zwar \(\sigma\) Algebren, aber diese haben nur endliche viele Elemente. Die erste 2 nämlich ∅ und Ω und die zweite hat 4 Elemente: ∅, [0,1/2), [1/2,1] und Ω.

Aber warum soll es nur zwei mit unendlich vielen Elementen geben,

Das hat nie jemand behauptet. Die Aufgabe verlangt nur, dass du zwei davon angibst!

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Ah, ok. Ich dachte wenn ein Element einer σ Algebra ein Intervall [0,1/2) ist, dass dann alle durch die unendliche vielen Elemente in diesem Intervall auch das für die σ Algebra gilt.

Ok in diesem Fall hätte ich also schon 2 mit endlich vielen Elementen. Wie gibt man dann einen σ Algebra mit unendlich vielen Elementen an bzw. was wäre ein Beispiel dafür?

Wäre A3={∅,Ω,P(Ω)} wobei P hier für die Potenzmenge steht eine σ Algebra mit unendlich vielen Elementen?

Answer 1

Hallo goku11,

dein Beispiel \( A_2 \) lässt sich zu

\( \Sigma'_a = \{ \emptyset, [0, a), [a, 1], \Omega \} \)

mit \( a \in [0, 1] \) verallgemeinern, wobei man den Spezialfall \( a = 0 \) (nicht aber den Fall \( a = 1 \)) mittels

\( \Sigma'_0 = \{ \emptyset, \Omega \} \)

verstehen kann.

Eine nicht-triviale Sigma-Algebra mit unendlich vielen Elementen erhält man über die unendlich vielen Mengen

\( M_{a, i} = \{ [0, a^i), [a^i, 1] \} \)

mit \( a \in (0, 1) \) und \( i \in \mathbb{N} \). Die von der Vereinigung dieser Mengen erzeugte Sigmaalgebra,

\( \Sigma''_{a} = \sigma( \cup_i M_{a, i} ) \)

hat unendlich viele Elemente. Es gibt darüberhinaus unendlich viele dieser Sigmaalgebren (nämlich eine für jedes \( a \)). In diesem Beispiel sind die Elemente allerdings nicht alle explizit, sondern über den Erzeugeroperator \( \sigma \) implizit angegeben.

Der Ansatz, für den man das Intervall \( [0, 1] \) regulär in Teilintervalle schachtelt, funktioniert natürlich auch. Hierbei lässt sich die Zahl der Teilintervalle \( g \in \mathbb{N} \) beim Rekursionsschritt als Parameter für eine ganze Familie von Sigma-Algebren nutzen:

\( \Sigma'''_g = \sigma\left( \left\{ [0, \frac{1}{g^i}), [ \frac{1}{g^i}, \frac{2}{g^i}), \dots, [\frac{g^i -1 }{g^i}, 1] \text{ mit } i \in \mathbb{N} \right\} \right) \).

Hier hat man mit \( \Sigma'''_{2} \) und \( \Sigma'''_{3} \) bereits zwei Sigma-Algebren mit unendlich vielen Elementen gegeben. Auch diese Definition erklärt nicht alle Elemente von \( \Sigma_g \) explizit, sondern die meisten implizit (zumindest lässt sich jedem explizit definierten Element mehr als ein implizit definiertes zuordnen).

Man sieht aber, dass bereits die erzeugende Menge unendlich viele Elemente hat, was einem die Folgerung dieser Eigenschaft auf die von dieser Menge erzeugte Sigma-Algebra erlaubt.

Mister