Extremstellenberechnung von e-Funktion mit Hilfe partieller Ableitung

Question

Aufgabe: Berechnung der stationären Punkte, Extremwerte und Sattelpunkte.

Das ist mein Ansatzt bzw. Lösung würde mich über Korrektur/Bestätigung und Erklärung freuen:)

1) Ableitungen bestimmen; 2) x & y bestimmen; 3) mit der Hessematrix Extremstelle berechnen

Answer 1

Da die Funktion f(x)=e^x  streng monoton wachsend ist, wächst mit Vergrößerung des Exponenten auch der Funktionswert, und mit Verkleinerung des Exponenten sinkt er. Ebenso ist der Wert von e^Exponent  maximal/minimal, wenn der Exponent maximal/minimal ist.

Da der Exponent x²+2y für kein Paar(x,y) ein lokales Maximum oder Minimum besitzt (der Graph ist so eine Art geneigte Dachrinne), kann auch die Funktion f(x,y)=e^x²+2y   keine Extrempunkte besitzen.

PS: Dein Ansatz z_x=0=z_y ist Unfug, da z_y nicht 0 wird.

Da suchst dann lediglich nach Stellen mit z_x=z_y.

Answer 2

\( f(x,y) = e^{x^2+2y}\)    , die partiellen Ableitungen sind

\( f_x(x,y) = 2x · e^{x^2+2y}\)  und  \( f_y(x,y) = 2 · e^{x^2+2y}\)

Letztere hat keine Nullstelle. Daher gibt es keine stationären Punkte.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema++f(x,y)%3De%5E(x%5E2%2B2y)

Gruß Wolfgang