Knobelaufgabe. Suche Streckennetz für Transportanien mit minimaler Streckenlänge

Question

Hallo wir haben in der Schule vom Lehrer ein Aufgabe bekommen er hat gesagt das er wettet dass sie außer ihm und ein paar seiner Freunde keiner lösen kann egal wer und nachdem ich mir schon gut 3 Tage an ihr die Zähne ausgebissen habe wollte ich euch fragen ob ihr mir helfen könnt die Lösung zu finden? :)
Falls es geht bitte mit Lösungsweg damit ichs auch check :)

In der großen Tiefebene von Transportanien liegen die Städte A, B, C und D. Die gegenseitige Lage der Städte ist sehr regelmäßig. Sie bilden nämlich ein Quadrat von 100 km Seitenlänge.
Nun soll zwischen den 4 Städten ein Streckennetz für eine Magnetschwebebahn gebaut werden. Dabei sind Umsteigebahnhöfe zugelassen, auch wenn sie nicht in den Städten liegen.
Aus Kostengründen, der Schnelligkeit wegen und um die Umwelt zu schonen soll die Gesamtlänge des Streckennetzes so klein wie möglich sein.

Wie muss ein derartiges Streckennetz aussehen? Beweise, dass es die geforderte minimale Gesamtlänge hat.

Comments

Nun, wenn es keine weiteren Bedingungen gibt, dann würde ich einfach zwei Strecken entlang den Diagonalen bauen mit einem Umsteigebahnhof an deren Schnittpunkt.
Dann kommt man mit höchstens einmaligem Umsteigen von jeder Stadt zu jeder Stadt. Das "Streckennetz" ist dann 282,24 km lang.

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@ JotEs:

Ich finde Deinen Vorschlag sehr einleuchtend! 

Eine winzige Korrektur: 

Eine Diagonale hat die Länge √(100² + 100²) ≈ 141,42

Also hat das Streckennetz die Länge von ca. 282,84 km.

Besten Gruß 

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Stimmt, da hab ich mich wohl vertippt ... Danke ... :-)

Answer 1

L = 2·x + 4·√((50 - x)^2 + 50^2)
L = 4·√(x^2 - 100·x + 5000) + 2·x
L' = 2·(√(x^2 - 100·x + 5000) + 2·(x - 50))/√(x^2 - 100·x + 5000) = 0

√(x^2 - 100·x + 5000) + 2·(x - 50) = 0
√(x^2 - 100·x + 5000) = 100 - 2·x
x^2 - 100·x + 5000 = 4·x^2 - 400·x + 10000
3·x^2 - 300·x + 5000 = 0

x = 50 - 50·√3/3 = 21.13248654

L = 2·(50 - 50·√3/3) + 4·√((50 - (50 - 50·√3/3))^2 + 50^2) = 100·√3 + 100 = 273.2050807

Mein Streckennetz wäre 273.3 km lang, wenn ich mich da jetzt nicht verrechnet habe. Aufgabe des Fragestellers ist wie immer meine Rechnung sorgfältig zu prüfen, weil ich es nicht mache.

Eine Skizze meines Streckennetzes:

Comments

Das sieht sehr sehr gut aus! (x ist in der Skizze das Stück von dem Mittelpunkt der ganzen Figur zu dem rechten (oder linken - das ist gleich) "Bahnhof")

Begründung warum es keine kürzere Strecke gibt: Nach Aufgabenstellung ist eine Strecke von A nach C und von B nach D zwangsweise notwendig. Betrachtet man die beiden Wege getrennt, so wäre die direkte Verbindung (vgl. Kommentare oben) die beste Lösung. Soll es nun einen kürzeren Weg geben, so muss zwangsweise eine Strecke als Ersatz für beide Diagonalen gewählt werden. Damit gibt sich in etwa die obrige Form. Die beiden Dreiecke (rechts und links) haben den kleinsten Umfang wenn sie gleichschenklig sind... damit gibt sich die obrige Form. Betrachtet man nun die Länge in abhängigkeit von x und optimiert sie ergibt sich die obrige Rechnung - die wohl auch stimmt (zumindest komme ich auf das selbe)

LG