Maximum bei Binomialverteilungen

Question

Aufgabe:

es ist keine Aufgabe, aber ich würde gerne wissen, ob es einen konkreten Unterschied zwischen dem Erwartungswert und dem Maximum einer Binomialverteilung gibt und wenn ja welchen.

Problem/Ansatz:

Wenn man die Formeln jeweils anwendet, kommt man ja auf dasselbe Ergebnis und so wie ich das verstanden habe, muss beim Maximum nur abgerundet werden... Bin mir aber unsicher und würde mich sehr über Rat freuen :)

Answer 1

Ja. Der Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeit ist der Erwartungswert, wenn der Erwartungswert ganzzahlig ist oder liegt direkt links oder rechts vom Erwartungswert, wenn der Erwartungswert eine Kommazahl ist. Ob es nun links oder rechts liegt sollte man testen. Das kann man manchmal nicht so einfach sehen. Auch runden geht nicht.

Comments

Hier siehst du eine Binomialverteilung mit n = 10 und p = 0.91. Der Erwartungswert ist also 9.1. Du siehst hier ist jedoch der Wert mit der Höchsten Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung k = 10.

Der Wert von 10 befindet sich also direkt rechts vom Erwartungswert.

---

Danke, habs jetzt gecheckt

---

Lieber Coach, auch wenn diese Antwort schon etwas her ist. Ich habe eine, wie ich finde, sehr spannende Frage dazu:

Kann man beweisen, dass die höchste Säule auf jeden Fall immer direkt beim Erwartungswert liegt (falls er ganzzahlig ist) oder eben [k_;k-] mit k_ ist die ganzahlige Abrundung von E(x) und k- ist die ganzzahlige Aufrundung von E(X). ?

Beziehungsweise reicht es eigentlich aus zu zeigen, dass Max(Bin(n.p,k)) ∈[k_;k-].

Das würde ja den Fall, dass E(X) ganzzahlig ist einschließen.

Wäre dir echt super dankbar, für eine Idee.

LG

Kombi

---

Hattet ihr bereits die Normalverteilung bzw. die Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung?

Die Normalverteilung hat das Maximum direkt beim Erwartungswert. Wenn man also die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern kann dann liegt es nahe das die Binomialverteilung auch die Höchste Wahrscheinlichkeit beim Erwartungswert hat.

Das Problem ist das man für p ≠ 0.5 für kleine n keine symmetrische Verteilung hat und daher der gerundete Erwartungswert nicht unbedingt das Maximum darstellt.

Aber du könntest mal probieren zu zeigen das

P(X = k - 1) ≤ P(X = k) gilt solange k ≤ n·p gilt.

Ich habe das selber noch nicht probiert und weiß nicht wie schwer das ist. Aber ein Versuch ist es vielleicht Wert.

---

Hmm. Oder hast du eine allgemeine Eerklärung (anschaulich) warum der höchste Wert in der Näher des Erwartungswertes ist?

---

Ist das mit der Näherung der Normalverteilung nicht anschaulich genug. Also wie vom obigen Beispiel. Eigentlich darfst du bei den Daten auch noch nicht Nähern. Das soll uns hier aber mal nicht weiter Interessieren.

---

Ja. Meinte eher mit einem Beispiel.

Bei einem Münzwurf.

10 Würfe. Wieso ist es am wahrscheinlichsten 5 mal Kopf zuwerfen.

I wie intuitiv klar, aber könnte es nicht erklären warum..

---

Wenn p = 0.5 ist dann wird das zum Kinderspiel

n = 10 ; p = 0.5

P(X = k) = (10 über k) * 0.5^k * 0.5^(10 - k)

P(X = k) = (10 über k) * 0.5^10

Die Wahrscheinlichkeit ist also umso größer je größer der Binomialkoeffizient ist.

Warum das bei 5 ist sollte dir am Pascalschen Dreieck klar werden.

Answer 2

und so wie ich das verstanden habe, muss beim Maximum nur abgerundet werden.

Das hast du falsch verstanden, denn manchmal muss man da aufrunden.

Vergleiche n=10, p=0,25 mit n=10, p=0,75.

Auf alle Fälle ist der Erwartungswert immer nah beim Maximum (vermutlich maximal 0,5 davon entfernt).

PS: Wie das Beispiel von Mathecoach zeigt, kann die Entfernung auch größer als 0,5 sein.

Comments

Danke für die Hilfe :)