Den Wert einer unendlichen Reihe bestimmen mit hilfe von ∑1/(n^2) = (π^2)/6

Question

Aufgabe:$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac 1{(n+0,5)^2} = \, ?$$

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Reihe auf \( \sum \frac 1{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\) zu reduzieren aber bin mit der Partialbruchzerlegung bzw. Linearfaktorzerlegung nicht weitergekommen.

Herzlichen Dank für eure Hilfe

Answer 1

Forme erst mal um:

1/((n+0,5)^2) =1 / ( (2n+1)/2 ) ^2 ) = 4 / (2n+1)^2

Da alle Reihen konvergent sind, kann man Faktoren

herausziehen etc.

Dann wird die Reihe  ∑1/((n+0,5)2); n=0 bis ∞

zu    4 * ∑1/(2n+1)^2; n=0 bis ∞ .

Betrachten wir erst mal ohne den Faktor 4:

Im Nenner stehen  die Quadrate aller ungeraden Zahlen.

Wenn man die Quadrate der geraden Zahlen dazu tut, hat man

die bekannte Reihe ∑1/(n^2) = (π^2)/6 .

Für die Reihe mit den  Quadraten der geraden Zahlen erhalte ich

 ∑1/((2n)^2) = ∑    (1/4*1/(n)^2   ) = (1/4) ∑ 1/(n)^2  = (1/4)* (π^2)/6

= (π^2)/24 .

Also hat man   4 * (   ∑1/(2n+1)^2     +   (π^2)/24  )  = 4* ∑1/(n^2) = (2/3)*(π^2)

<=>   4 *   ∑1/(2n+1)^2     +   (π^2)/6   = (2/3)*(π^2)

<=>   4 *   ∑1/(2n+1)^2      = (2/3)*(π^2) -   (π^2)/6   =   (π^2)/2

<=>       ∑1/(2n+1)^2      =   (π^2)/8

Oh, hab den Faktor 4 von oben vergessen !

Answer 2

Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Summanden der Reihe ist das Quadrat des Quotienen zweier aufeinanderfolgener ungerader Zahlen. Die Quotientenfolge ist (1/3)², (3/5)², (5/7)², ....

Es geht also um die Summe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{4/(2n+1)^2} \) =\( \frac{π^2}{2} \) .