Wie kann man zeigen, dass ∑1/(n!) ≤ 3 ist?

Question

Aufgabe:

Ist  ∑1/(n!) ≤3?

Ansatz

∑1/(n!) ≤3

⇒∑1/(n!) -3 ≤ 0

Jetzt kann man natürlich durch vollst. Induktion zeigen, dass (n/2)^n/2 ≤ n! und damit 1/((n/2)^n/2) ≥ 1/n! Gilt das dann überhaupt auch automatisch für die entsprechenden Summen? Wenn ja, dann ist die Abschätzung doch zu grob. Damit lässt sich nur zeigen, dass ∑1/(n!) ≤4 ist.

Gibt es eine Möglichkeit der groben Abschätzung? Dass ∑1/(n!) = e ergibt, ist mir klar. Aber darum geht es in dieser Aufgabe nicht.

Answer 1

Da gibt es sicher diverse Ansätze. Z.B. zeige per Induktion über n, dass n! > 2ⁿ für alle n > 3 ist. Unter Verwendung der geometrischen Reihe gilt dann die Abschätzung$$\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}<\sum_{n=0}^3\frac1{n!}+\sum_{n=4}^\infty\frac1{2^n}=\frac83+\frac18=\frac{67}{24}<\frac{72}{24}=3.$$

Comments

Dann muss man allerdings statt einer Aussage schon zwei Aussagen beweisen, nämlich die geometrische Reihe zum einen und n! > 2ⁿ für alle n ≥ 4 zum anderen.

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Wenn es um die Exponentialreihe geht, kann man wohl die geometrische Reihe als bekannt voraussetzen.

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Was nichts an dem Umstand ändert, dass man nun zwei Aussagen statt einer Aussage vergleichbarer Komplexität beweisen muss.

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Was bereits bekannt ist, muss nicht immer wieder aufs Neue bewiesen werden. Wenn du jedesmal beim Urknall anfangen willst, hast du viel hinzuschreiben.

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Was immer noch nichts an dem Umstand ändert, dass man zwei Aussagen statt nur einer Aussage vergleichbarer Komplexität beweisen muss.

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Wie oben bereits beschrieben muss man das eben nicht.