Beweis bzgl der Geometrische-Reihe (Ansatz gesucht)

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{c}{\text { (a) Beweisen Sie folgende Formel für geometrische Summen: }} \\ {\sum_{i=0}^{n} q^{i}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}, \quad n \in \mathbb{N}, q \neq 1} \\ {\text { Hinweis: Betrachten Sie das Produkt }\left(1+q+q^{2}+\ldots+q^{n}\right)(1-q)}\end{array} $$

$$ \begin{array}{c}{\text { (b) Mit Hilfe von (a) zeigen Sie: Ist q eine Zahl mit }|q|<1, \text { dann gilt }} \\ {\sum_{i=0}^{\infty} q^{i}=\frac{1}{1-q}}\end{array} $$
Problem/Ansatz:

Ich sitze nun schon eine Weile an der Aufgabe b, denn ich habe keine Ahnung wie ich hier rangehen soll.

Hier erst einmal meine Lösung zur Aufgabe a, ich hoffe man sollte es mit der vollständigen Induktion machen, was anderes ist mir nicht eingefallen.

Über einen Anstupser würde ich mich freuen.

LG Anja

Answer 1

eine Lösung über vollständige Induktion ist möglich, hast du ja auch richtig gemacht.
Aber

ich hoffe man sollte es mit der vollständigen Induktion machen, was anderes ist mir nicht eingefallen.

verwundert mich ein wenig. In der Aufgabe steht nix von vollst. Induktion. Stattdessen
steht da :

Hinweis Betrachten sie das Produkt ...

Der Aufgabensteller erwartet vermutlich eine Lösung über diesen Ansatz.

Wie das geht siehst du z.B hier:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

unter Herleitung

zu b) schicke in der Formel n ---> ∞

Gegen was strebt  q^n, wenn |q|<1 ist? Dann wird alles ganz einfach.

Comments

Ja, ich konnte nur mit dem Hinweis nicht viel anfangen, ich versuche es nun mal anders, danke

Answer 2

Warum hast du den Hinweis nicht beachtet ? Der könnte tatsächlich hilfreich sein.

Folgendes Video könnte hilfen:

https://www.youtube.com/watch?v=2TCDiK7GpNM