Aufgabe:
Berechnen Sie mithilfe der geometrischen Reihe:
a)$$ 0.999 \ldots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{9}{10^{n}}$$
b) $$ \sum_{n=0}^{\infty} q^{2 n}, \text { wobei } 0<q<1 $$
Problem/Ansatz:
a)$$0.999...=\sum _{ n=1 }^{ \infty } \frac { 9 }{ 10^{ n } } =\frac { 9 }{ 10 } \sum _{ n=0 }^{ \infty } \frac { 1 }{ 10^{ n } } =\frac { 9 }{ 10 } *\frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ 10 } } =1$$
Ich habe bei a) erst eine Indexverschiebung durchgeführt und dann die geometrische Reihe angewendet, aber ich weiß nicht, ob es Sinn macht, denn 1!= 0.999...
b)
$$\sum _{ n=0 }^{ \infty } q^{ 2n }=\frac { 1 }{ 1-q^{ 2 } } $$
Es scheint mir hier aber so nicht gewollt zu sein.
Ich hoffe ihr könnt mir etwas helfen.
