Beweis bzgl der geometrischen Reihe

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Beweisen Sie, dass für }|q|<1} \\ {\sum_{n=0}^{\infty} n q^{n}=\frac{q}{(q-1)^{2}}} \\ {\text { Hinweis: Betrachten Sie die Funktion } F(q) :=\sum_{n=0}^{\infty} q^{n}=\frac{1}{1-q}  . \text { Differenzieren Sie }} \\ {\text { beide Seiten nach } q ; \text { dabei darf man auf der linken Seite gliedweise differenzieren }} \end{array} $$

Problem/Ansatz:

Laut dem Hinweis, soll ich $$ \sum_{n=0}^{\infty} q^{n}=\frac{1}{1-q} $$ differenzieren.

Also:

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { nq }^{ n-1 } } =\frac { 1 }{ { (q-1) }^{ 2 } } \\ \Leftrightarrow \frac { 1 }{ q } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { nq }^{ n } } =\frac { 1 }{ { (q-1) }^{ 2 } } \\ \Leftrightarrow \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { nq }^{ n } } =\frac { q }{ { (q-1) }^{ 2 } } $$

Problem ist nun, dass ich nicht verstehe, wie es nun weiter gehen soll.

Meine Idee wäre die vollständige Induktion, aber dies wird wohl ins leere verlaufen, denn ich glaube der Hinweis will mir etwas anderes sagen, nur verstehe ich es nicht :)

Über ein paar Tipps wäre ich sehr dankbar.

Comments

Bis hierhin hast du richtig gerechnet. Jetzt

solltest du noch begründen, warum

$$\frac{d}{dq}\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d}{dq}q^n$$

Also warum die Ableitung in die Summe reingezogen werden kann. Das ist für unendliche Summen im allgemeinen nämlich nicht ohne weiteres möglich (für endliche hingegen schon).

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Hallo.

Und genau da liegt mein Problem, irgendwie finde ich in meinen Unterlagen nichts, womit ich das "REINZIEHEN" begründen könnte.

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Ich zitiere mal mein Ana Skript:

Seien \( f_k \) stetig differenzierbare Funktionen auf einem beschränkten Intervall \( I \) mit Ableitungen \( f_k' \). Wenn die Partialsummen \( \sum_{k=1}^n f_k \) punktweise und \( \sum_{k=1}^n f_k' \) auf \( I \) gleichmäßig konvergieren, so darf in den zugehörige Reihen gliedweise differenziert werden und es gilt:

$$ \frac{d}{dx} \sum_{k=1}^\infty f_k= \sum_{k=1}^\infty f_k' $$

Answer 1

So, wie ich die Sache sehe, ist der Beweis erbracht. Im Hinweis ist eine Formel gegeben, die man verwenden und nicht beweisen soll (obwohl das nicht schwer ist). Von der gegebenen Formel hast du korrekt die Ableitung auf beiden Seiten gebildet und dann sauber umgeformt. Was fehlt denn noch?

Comments

Hallo.

Ja, dass ist die Frage, für mich schaut es halt nicht wie ein Beweis für die Formel aus.

Man hat ja nur gezeigt, dass die Ableitung und Stammfunktion die Gleichung erfüllen, aber ob dies nun ein runder Beweis ist, kann ich nicht sagen. Ich würde aber meinen NEIN.

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Ich vestehe deine Zweifel. Auch ich finde es äüßerst bedenklich, die Gleichheit zweier Terme auf diese Weise beweisen zu wollen, zumal einer der beiden Terme eine (unendliche) Reihe ist. Für endliche Reihen gilt diese Strategie im Allgemeinen nicht. Aber du bist genau dem Hinweis gefolgt, der ja wohl den Beweisgang vorgeben soll. Vielleicht ist das ja bei unendlichen Reihen ein gültiges Beweisverfahren.

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ich finde es äüßerst bedenklich ...  
falsche Privatmeinung

Für endliche Reihen gilt diese Strategie im Allgemeinen nicht.
Da gilt sie sogar "erst recht", weil man sich keine Gedanken über die Zulässigkeit der gliedweisen Differenziation zu machen braucht.

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\( \sum\limits_{k=1}^{n}{k^2} \) =\( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

Vorschlag an hj2166: Leite links und rechts ab. Entsteht etwas Gültiges?

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Was genau willst du da ableiten?

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Drehst du jetzt völlig ab und willst Differenzialrechnung auf ℕ machen ?

Answer 2

beim Ableiten der Potenzreihe erhöht sich der Startindex um 1. Das ändert aber nix, da der 0te Summand 0 ist. Mit der letzten Zeile bist du fertig. Denn wenn zwei Funktionen gleich sind, dann sind auch ihre Ableitungen gleich.

Comments

Denn wenn zwei Funktionen gleich sind, dann sind auch ihre Ableitungen gleich

Danke, das klärt natürlich alles:)