Zeigen, dass Minimalpolynom von A dasselbe wie Minimalpolynom von A^T, d.h. µ(A) = µ(A^T)

Question

Sei A eine nxn Matrix mit Minimalpolynom µ(A) = a₀+a₁X+...+a_k-1X^k-1+X^k

Nun soll ich zeigen, dass µ(A) = µ(A^T)

Es ist

(Aⁿ)^T=(A*A*...*A)^T=A^T*A^T*...*A^T=(A^T)ⁿ

Wie kann ich jetzt zeigen, dass das Minimalpolynom von A gleich dem Minimalpolynom von A^T ist?

Answer 1

Ist μ das Minimalpolynom von A so gilt μ(A)=0

Gemäß

https://de.wikipedia.org/wiki/Minimalpolynom#Lineare_Algebra

musst du nur prüfen,

1. ob beim Einsetzen von A^T in das Polynom μ auch  μ(A^T) = 0 gilt.

2. ob es kein Polynom kleineren Grades gibt, bei dem das gilt.

zu 1: Wie du oben schon gezeigt hast ist für alle Exponenten k immer

(A^T)^k = (A^k)^T  außerdem ist auch bei den Einheitsmatrizen  (E_n)^T = E_n

Wenn also gilt

a_o*E_n + a₁*A + a₂*A^2 + .. a_d*A^d = 0

so gilt auch

a_o*(E_n)^T + a₁*A^T + a₂*(A^2)^T + .. a_d*(A^d)^T = 0

Denn es werden ja alle Summanden transponiert also

werden immer die Matrixelemente addiert, deren Summe 0 ergibt.

zu 2: Gäbe es für A^T ein Polynom kleineren Grades, das diese

Bedingung erfüllt, so würde das mit dem gleichen Argument auch

beim Einsetzen von A die Nullmatrix ergeben.

Also sind 1 und 2 erfüllt und damit ist  µ(A) = µ(A^T)

Comments

Nun soll ich noch weiter machen. Sei B =T^-1AT. Dann gilt B^m=T^-1A^mT für alle m und auch μ_A=μ_B .

B^m gilt doch weil T*T^-1 = I und weil T und A invertierbar sind oder?

oder wie zeige ich das?

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B =T^(-1)AT

==>  B^2 = T^(-1)AT * T^(-1)AT wegen assoziativ:

               = T^(-1)A(T * T^(-1))AT

                 = T^(-1)A*E*AT

                   = T^(-1)A*AT

                    = T^(-1)*A^2*T

Ganz ordentlich mit vollst. Induktion über m.

Invertierbarkeit von A wird dafür nicht gebraucht.

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Ah ok danke. Das Minimalpolynom ist dann gleich, weil

μ_A(B)=μ_A(T^-1AT)=μ_A(T^-1)μ_A(A)μ_A(T)=μ_A(T^-1)*0*μ_A(T)= 0

Somit ist B ein Teiler von m_A und da B auch ein Teiler von m_B ist gilt

μ_A=μ_B

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Oder ist mein Kommentar falsch?