NS, Min Max stetige Funktionen

Question

Ab wann hat eine stetige Funktion Extremwertstellen bzw. Nullstellen ohne die berechnen zu müssen, Erläuterung mit Beispiel bitte

Answer 1

Ich verstehe die Frage-Stellung nicht so recht?

Was meinen Sie mit ab wann?

Comments

Entschuldigung das wann ist ein wenig irreführend , man kann Extremwerte und Nullstellen feststellen ohne Sie berechnen zu müssen.

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Naja das kommt ganz auf die Funktion an....

zB bei der Funktion 1/x erkennt man relativ leicht, dass es keine Nullstelle gibt, bzw. x dann gegen etwas unendlich Großes laufen...

und bei einer bspw. rationalen Funktion 3.Grades kann man die Nullstellen relativ leicht  berechnen zB bei der Funktion

F(x) = 2x^3 + 4x^2 + 2x - 3

die Ableitung:  f(x) = 6x^2 + 8x + 2, das jetzt null stellen, also

6x^2 +8x +2 = 0

abc oder pq - Formel anwenden und man hat die vermeidlichen Extrempunkte in dem Fall wäre

x_1/2 = -1/3

x_1/2 = -1

und mithilfe der zweiten Ableitung kann man auch herausfinden welcher Extrempunkt der Tief - und welcher der Hochpunkt ist.

also die zweite Ableitung:

f¹(x) = 12x + 8

und jetzt einer der beiden x werte einsetzen in meinem Fall -1, und es kommt raus

f¹(-1) = -4 und daher ist -1 der Hochpunkt und -1/3 der Tiefpunkt.

[Außerdem darf die zweite Ableitung nicht gleich Null sein!!]

Also die Antwort ist ganz simpel und möglicherweise auch un-zufriedenstellend, aber es kommt wie schon gesagt auf die Funktion an....

Answer 2

Wenn der Term einer Funktion in faktorisierter Form vorliegt kann man z.B. die Nullstellen direkt ablesen ohne sie berechnen zu müssen. Auch die Scheitelpunktform einer Parabel erlaubt z.B. das Ablesen des Hoch- oder Tiefpunktes ohne ihn berechnen zu müssen.

Eine Funktion kann aber auch als Graph gegeben sein, bei dem man gleich Nullstellen und Extrema direkt ablesen kann.

Answer 3

jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall besitzt ein Minimum bzw. Maximum.

Siehe

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Satz_vom_Minimum_und_Maximum