Stereometrie 4 Kugeln mit Umkugel

Question

Aufgabe:

Vier Kugeln mit Radius r, die sich gegenseitig berühren, ist eine Kugel umschrieben.

a) Berechnen Sie den Radius der Umkugel als Ausdruck in r.

b) Wie gross ist die Differenz der Volumina der Umkugel und der 4 eingeschriebenen Kugeln?

c) In welchem Verhältnis steht die Gesamtoberfläche der 4 Kugeln zur Oberfläche der Umkugel?

Problem/Ansatz:

Ich habe mir eine Skizze gemacht, aber ich weiss nicht, wie man am besten r herausfindet. Es ist komisch. Könnte mir jemand wieder einen Schubser geben?

Ich wäre euch sehr dankbar.

Answer 1

Zur Unterstützung der Anschauung

https://www.geogebra.org/m/ZuQYtDTd

Du musst den äusseren Tetraeder rausnehmen - g

Die Kugel heissen a,b,c,d

an/aus

Comments

Aha, die Kugeln sind in diesem Tetraeder drinnen??? Ich habe es eben so skizziert:

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Wie muss ich das jetzt weiterberechnen. Wie kann ich die Höhe berechnen?

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Der Mittelpunkt des Tetraeders befindet sich auf der Verbindungslinie zwischen dem Mittelpunkt einer Seitenfläche  und dem gegenüberliegenden Eckpunkt (also auf einer der Körperhöhen). Dabei beträgt der Abstand dieses Tetraedermittelpunkts zu einer Grundfläche 1/4 der Körperhöhe.

Für so etwas gibt es auch Formelsammlungen.

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Ja, das kommt hin.

Musst Du elementar geometrisch rechnen oder darf es auch mittels analytischer Geometrie sein. Du musst einen Schnitt durch die Packung legen um den Umkugelmittelpunkt zu berechnen zu können.

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Muss man nicht. Verbindet man in Gedanken den Tetraedermittelpunkt mit den vier Tetraederecken, dann kann man erkennen, dass das Tetraeder in 4 kongruente Teiltetraeder zerlegt werden kann, die jeweils ein Viertel des Gesamtvolumens besitzen und demzufolge (bei gleicher Grundfläche) nur ein Viertel der gesamten Tetraederhöhe haben..

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Ich werde es morgen anschauen, da ich jetzt noch weg muss. Wir sehen uns morgen, Tschüssi!

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Also abakus, ich werde jetzt an dieser Aufgabe arbeiten. Ich kann mir deine Erklärung noch nicht ganz vorstellen in meinem Kopf. Wie meinst du das mit diesen 1/4 der gesamten Tetraederhöhe. Könntest du mir das irgendwie visuell zeigen, damit ich das nachvollziehen kann? Ich weiss nicht, was du genau meinst.

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Ich verstehe nicht, wie ich das ganze jetzt machen soll. Der eine hat mir ein Geogebra geschickt, wo die Kugeln in einem Tetraeder sind und der andere sagt mir, dass die Tetraederecken die Mittelpunkte der Kugel sind. Was stimmt jetzt? Wie muss ich jetzt dieses Tetraeder aufzeichnen???

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Der eine hat Dir ein GeoGebra geschickt um die Lage der Kugeln zu beschreiben. Das bei diesem Beispiel ein Tetraeder drumrum ist hat nix mit Deiner Aufgabe zu tun - deswegen sollst Du ihn weg nehmen. Dann kannst Du die Scene drehen mal eine Kugel wegnehmen um rein zuschauen...

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Aha, das hat mich eben voll verwirrt, weil ich dachte, dass die Kugeln jetzt in diesem Tetraeder sind.

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Aber auch wenn ich das sehe, ich weiss einfach nicht, wie ich den Radius der Umkugel berechnen soll..

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Berührt die Umkugel die 4 Kugeln???

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Ich habe mal eine Skizze gemacht und die Höhe des Tetraeders berechnet. Stimmt das bis jetzt????

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Ist jemand da, der mir helfen kann?

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Halloo? Ich brauche unbedingt Hilfe, da ich bald eine Prüfung habe und ich diese Aufgabe nicht verstehe.

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Hallo ist aweng schwierig mit der Hilfe, da nicht klar ist welche Grundlagen angewendet werden sollen. Das Gesamtkunstwerk abgeleitet aus dem Link der GGB-App

Umkugelradius des Innentetraeders \(r_u=\vec{Z M_1}\)

Z ist der Schwerpunkt des Innentetraeders und die M_i sind die Kugelmittetpunkte mit Radius r (gegeben). Wenn Du jetzt nachlesen darfst das der r_u = 2 r /4 √6 ist dann kannst Du noch r dranhägen um den Umkugelradius  \(R=Z G_1\) zu erhalten.

Oder halt aufwändig den Weg von Abakus nachrechnen...

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Wenn ich das so mache wie du sagst, dann komme ich für den Radius der Umkugel auf:

r/2(Wurzel6+2)

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Yep, und zur Überprüfung in der GGB App

Kugel(Z, r / 2 (sqrt(6) + 2))

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Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung. Ich habe gemerkt, wie schwierig es für mich war diese Aufgabe zu visualisieren. Ich bin mir nicht sicher, ob ich einfach so schlecht bin oder ob das eine etwas schwierigere Aufgabe war für uns alle...

Answer 2

Vier Kugeln mit Radius r, die sich gegenseitig berühren, ist eine Kugel umschrieben. 

Dann sind die Mittelpunkte der 4 Kugeln Eckpunkte eines regulären Tetraeders, dessen Kantenlänge 2r beträgt.

Der Mittelpunkt dieses Tetraeders ist auch gleichzeitig Mittelpunkt der Umkugel.

Comments

Das weiss ich schon, aber es gibt doch kein Tetraeder mit 4 Ecken?

Könntest du es mir vielleicht visuell schnell  zeigen, damit ich verstehe, was du meinst? Bitte.

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Das weiss ich schon, aber es gibt doch kein Tetraeder mit 4 Ecken?

https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder

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Aha, die Höhe ist auch eine Ecke, stimmt. Aber wie will man das da einzeichnen...

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Ich brauche nur eine Vorstellung, danach kann ich alles selber berechnen. Ich muss mir sowas einfach einmal vorstellen können, da ich sowas noch nie gemacht habe..

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Ich habe es jetzt geschafft. Sorry, ich war so dumm und hatte eine falsche Skizze. :DD Schau mal wie schön.