\(\begin{aligned} & & 5x^{5}-40x^{3}-45x & =0 & & 5x\text{ ausklammern}\\ & & 5x\left(x^{4}-8x^{2}-9\right) & =0 & & \text{Potenzgesetze}\\ & & 5x\left(\left(x^{2}\right)^{2}-8x^{2}-9\right) & =0 & & \text{quadratische Ergänzung}\\ & & 5x\left(\left(x^{2}\right)^{2}-8x^{2}+\left(\frac{8}{2}\right)^{2}-\left(\frac{8}{2}\right)^{2}-9\right) & =0\\ & & 5x\left(\left(x^{2}\right)^{2}-8x^{2}+4^{2}-16-9\right) & =0 & & \text{binomische formel}\\ & & 5x\left(\left(x^{2}-4\right)^{2}-16-9\right) & =0\\ & & 5x\left(\left(x^{2}-4\right)^{2}-25\right) & =0 & & \text{Satz vom Nullprodukt}\\ & & 5x=0\,\vee\,\left(x^{2}-4\right)^{2}-25 & =0 & & |\,+25\\ & & 5x=0\,\vee\,\left(x^{2}-4\right)^{2} & =25 & & |\,\sqrt{\phantom{0}}\\ & & 5x=0\,\vee\,x^{2}-4 & =\pm5 & & |\,+4\\ & & 5x=0\,\vee\,x^{2} & =\pm5+4\\ & & 5x=0\,\vee\,x^{2}=-1\,\vee\,x^{2} & =9 & & |\,x^{2}=-1\text{ hat keine reelle Lösung}\\ & & 5x=0\,\vee\,x^{2} & =9 & & |\,\sqrt{\phantom{0}}\\ & & 5x=0\,\vee\,x & =\pm3\\ & & x=0\,\vee\,x=3\,\vee\,x & =-3\end{aligned}\)
