Ganzrationale Funktionen und Nullstellen

Question

Die Aufgabe lautet : Geben Sie eine ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades an, die die angegebenen Nullstellen besitzt.

a) 1 und 2

b) -9 , -7 und 9

c) √2  ,  1+√2  und 1-√2

Ich kann damit gar nichts anfangen :/ Also Nullstellen kann ich ja berechnen ,aber von der Lösung auf die Funktionsgleichung klappt es nicht

Answer 1

zu a)

Satz des Vieta:

x1+x2= -p ---> 1+2 = -p->p=-3

x1 *x2= q ----->1 *2= q=2

.>y=x^2-3x+2

Comments

y = (x-1)*(x-2)?

Answer 2

Nullstellen : 1 und 2

Funktion = ( x -1 ) * ( x - 2 ) = 0
Ausmultiplizeren :
f ( x ) = x^2 -1x - 2x + 2
f ( x ) = x^2 - 3x + 2

Die anderen Aufgaben entsprechend

-9 , -7 und 9
( x + 9 ) * ( x + 7) * ( x - 9 )
Ausmultiplizieren

Comments

Es muss nicht ausmultipliziert werden, da das Produkt ganzrationaler Funktionen wieder ganzrational sein muss.

Answer 3

Satz vom Nullprodukt:

a)

1 und 2

(x-1)*(x-2)

f(x)=x^2-3x+2

b)

-9 , -7 und 9

(x+9)*(x+7)*(x-9)

-----> ausmultiplizieren:

f(x)=x^3+7x^2-81x-567

c)

√2,1+√2  und 1-√2

(x+√2)*(x+1+√2)*(x+1-√2)

-----> ausmultiplizieren:

f(x)=x^3+3.414x^2+1.828x-1.414

Wenn du beim Ausmultiplizieren Probleme hast, frage einfach!

Liebe Grüße

Comments

Wenn du beim Ausmultiplizieren Probleme hast, frage einfach!

Ich würde vorschlagen, das Ausmultiplizieren zu unterlassen, da das nicht Teil der Aufgabenstellung ist. Außerdem haben sich in deinem Teil c) Fehler eingeschlichen!

---

Oh okay,

Wo ist denn der Fehler?

---

In der Produktdarstellung muss es an drei Stellen minus statt plus heißen.

Answer 4

Nehmen wir mal an, unsere ganzrationale Funktion kleinsten Grades soll nur die drei verschiedenen Nullstellen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) besitzen. Dann lässt sie sich durch eine Funktionsgleichung der Form

$$y=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$$mit \(a \ne 0\) beschreiben. Wir können der Einfachheit halber \(a=1\) wählen und sind fertig.