Höhe, in der der Drehkegel durchgeschnitten wurde

Question

Aufgabe:

Ein Drehkegel, welcher die Höhe h = 50cm und den Grundflächenradius r1 = 30cm hat, wird parallel zur Grundfläche so durchgeschnitten, dass der obere und der untere Teil des Kegels genau das selbe Volumen haben. In welcher Höhe von der Grundfläche aus wurde der Drehkegel durchgeschnitten?

Problem/Ansatz:

Das Volumen habe ich bereits berechnet (V = 47123,8898 und die Hälfte davon 23561, 9449) aber hier komme ich nicht mehr weiter. Könnt ihr mir helfen?

Comments

Der beschriebene Kegel und die abgeschnittene Kegelspitze sind zueinander ähnliche Körper. Ist der Ähnlichkeitsfaktor k, Dann ist die Höhe der Spitze h*k und die hier gesuchte Höhe des Stumpfes h-h*k=h*(1-k).

Answer 1

Zunächst allgemein
Bei einem Paket mit den Abmessungen
l, b, h werden die Abmessungen halbiert.
Wie wirkt sich das auf das Volumen aus ?
V = l * b * h

a = Halbierungfaktor = 0.5
l * 0.5
b * 0.5
h * 0.5
V ( neu ) = ( l * 0.5 ) * ( b * 0.5 ) * ( h * 0.5 )
V ( neu ) = 0.5^3 * l * b * h = 0.5^3 * V ( alt )
V ( neu ) = a^3 * V ( alt )

Kegel
V = r^2 * π * h * 1/3

In der Spitze des Kegel ist ein kleinerer
Kegel bei dem Radius und Höhe mit dem
selben Faktor ( Strahlensatz ) verkleinert sind.
r * a : r = 30
h * a : h = 50
V = (r*a)^2 * π * (h*a) * 1/3
V ( neu ) = a^3 * V ( alt )
a^3 = V ( neu ) / V ( alt ) = 1/2
a = 0.7937
h ( oben ) = h * 0.7937 = 39.685 cm

h ( unten ) = 50 - 39.685

Comments

Vielen Dank für diese Antwort, sie war äußerst verständlich erklärt und hat mir wirklich weitergeholfen!

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Gern geschehen.
Falls du weitere neue Fragen hast
stell´sie wieder ein.

Answer 2

\( \left\{\frac{ \frac{1}{3} \; r^{2} \; \pi  \; h}{2} = \frac{1}{3} \; r_o^{2} \; \pi  \; h_o, \frac{r}{r_o} = \frac{h}{h_o} \right\} \)

===>

{22500 =  h_o r_o² , 30 / r_o = 50 / h_o} ===> h_o = 5 / 3 r_o

_usw...