Extremwertaufgabe: Drehkegel in Halbkugel einbeschreiben

Question

Einer Halbkugel mit dem Radius R soll ein auf der Spitze stehender Drehkegel eingeschrieben werden. Wie sind seine Abmessungen zu wählen, damit sein Volumen möglichst groß wird?

Answer 1

Bitte nachrechnen, ich habe schnell getippt!

V_ (K e g e l )=1/3*u^2*h soll maximal werden

h=sqrt(R^2-u^2)

V(u)=1/3*u^2*sqrt(R^2-u^2)

V ´ ( u )= 1/3*[2u*sqrt(R^2-u^2)+(u^2*(-2u))/(2*sqrt(R^2-u^2))]= 1/3*[2u*sqrt(R^2-u^2)-(u^3)/(sqrt(R^2-u^2))]

1/3*[2u*sqrt(R^2-u^2)-(u^3)/(sqrt(R^2-u^2))]=0

2u*sqrt(R^2-u^2)-(u^3)/(sqrt(R^2-u^2))=0

2u*(R^2-u^2)-u^3=0

2 u R^2-3u^3=0

u*(2  R^2-3u^2)=0

u_1=0

2  R^2-3u^2=0

u^2=2/3R^2

u=R*sqrt(2/3)

h=sqrt(R^2-2/3R^2)=sqrt(1/3R^2)=R*sqrt(1/3)

V_ (K e g e l )=1/3*2/3R^2*R*sqrt(1/3)=2/9R^3*sqrt(1/3)=2/9R^3*1/3sqrt3=2/27 R^3*sqrt3

Comments

Hallo moliets,

V_ (K e g e l )=1/3*u^2*h

du hast pi vergessen
V_ (K e g e l )=1/3*u^2 * pi * h

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Danke dir! So kann es gehen, wenn man zu schnell arbeitet.

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Halb so schlimm.
Gräme dich nicht allzulange.

Lies lieber eine lustige Anekdote

Der dänische Physiker hatte, wie viele seiner Landsleute, ein kleines Ferienhaus. Über der
Eingangstür hing ein Hufeisen als Glücksbringer.

Die ihn besuchenden Kollegen wunderten sich
über das Zeichen bei so einem rationalen
Menschen. Bohrs Kommentar :
" Man hätte ihm gesagt es würde auch wirken
auch wenn man nicht dran glaubt."

Answer 2

1 ist Radius der Halbkugel

c^2 = x^2 + y^2
h = Höhe Kegel ( y )
r = Radius der Grundfläche ( x )
1^2 = r^2 + h^2
r^2 = 1 - h^2
Kegel
Grundfläche mal Höhe * 1 / 3
V = r^2 *pi * h * 1/3
V = ( 1 - h^2 ) *pi * h * 1/3
V ´= ( 3 * h^2 - 1 ) * pi / 3
Extremwert
( 3 * h^2 - 1 ) * pi / 3 = 0
h = 0.577
r^2 = 1 - h^2
r^2 = 1 - 0.577^2
r = 0.817

Bei einer Halbkugel mit dem Radius 1 ist r des
Kegels = 0.817 und die Höhe = 0.577