Verhältnis Würfel : Halbkugel. Würfel ist der Halbkugel einbeschrieben.

Question

 

Der Radius der Halbkugel ist r. In der Halbkugel ist ein Würfel einbeschrieben. Wie lautet das Volumenverhältniss Würfel : Kugel?

Answer 1

Das Volumen der Kugel ist 

V_K = 4/3 * pi * r^3

Für den Radius und die Kantenlänge a des Würfels gilt

(2·r)^2 = √(a^2 + a^2 + a^2)
a = 2/3·√3·r

Damit gilt für das Volumen des Würfels:

V_W = a^3 = (2/3·√3·r)^3 = 8/27·3·√3·r^3 = 8/9·√3·r^3

Damit lautet das Verhältnis 

V_W : V_K = (8/9·√3·r^3) : (4/3 * pi * r^3) = 2·√3/(3·pi) ~ 0.3675525969

Damit wäre das Würfelvolumen nur etwa 36.76% vom Kugelvolumen.

Comments

Wieso wird angenommen, dass die Raumdiagonale des Würfels gleich der Durchmesser der Halbkugel ist?

Nach meiner Rechnung ist a = √2/3 * r

 

b ist dabei die Hälfte der Diagonale der Grundfläche des Würfels

Herleitung: b² = (a/2)² + (a/2)²

r² = a² + b² = a² + (a/2)² + (a/2)²

r² = a² (1 + 1/4 + 1/4) = 3/2 a²

=> a = √2/3 * r

 

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Ich war davon ausgegangen das der einbeschriebene Würfel die Kugel von innen nur mit seinen Ecken berührt. Und damit wäre die Raumdiagonale des Würfels gleich dem Durchmesser der Kugel.

r² = a² + b²

Schau mal deine Zeichnung an. b ist sicher richtig aber nach oben kommt wieder nur (a/2)^2 hinzu. Wir haben ja keinen Kompletten würfel in der oberen Halbkugel.

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In diesem Fall war meine Zeichnung zu wenig klar... Das obige Bild stellt einen Querschnitt dar. Habe die "Grundidee" der Würfelberechnung noch einmal aufgezeichnet. Der Würfel wird entlang der Raumdiagonale halbiert. Die Halbkuegel wird ebenfalls halbiert. Dies diene nur zur einfacheren Herleitung der Formeln, so unser Mathematik Lehrer.

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Ich vermute, ihr könnt mit der Skizze und Rechnung hier:

https://www.mathelounge.de/18859/stereometrie-wurfel-halbkugel-einbeschreiben-kantenlange

etwas anfangen. Wenn so, ist das hier so was wie ein Duplikat.

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Alles klar. Also es geht um das Verhältniss des Würfels in der Halbkugel.

Dann lautet das Halbkugelvolumen

V_K = 2/3 * pi * r^3

Und wie du richtig sagst ist

r^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 + a^2
a = √6/3·r

Das Würfelvolumen errechnet sich damit aus

V_W = a^3 = (√6/3·r)^3 = 2/9·√6·r^3

Damit ist das Verhältnis

V_W : V_K = (2/9·√6·r^3) / (2/3 * pi * r^3) = √6/(3·pi) = 0.2598989337

Also beträgt das Würfelvolumen nunmehr 25.99% vom Halbkugelvolumen.

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Anmerkung:

√(2/3) = √6/3

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Okay super, vielen Dank :-) War total verwirrt, da ich 3x auf verschiedene Ergebnisse kam...

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Ich war nur etwas von der Skizze verwirrt und dachte zunächst es soll halt ein Würfel in die Kugel bzw. der halbe Würfel in die obere Hälfte.