Drehkegel Zylinder mit maximalem Volumen einbeschreiben. Extremwertaufgabe

Question

bei der 3.142 kommt immer das falsche Ergebnis raus, könnt ihr mir bitte helfen? 

Drehkegel Zylinder mit maximalem Volumen einbeschreiben.  Extremwertaufgabe

Comments

Ich bekomme etwa 201,06cm³ heraus, ist dies korrekt?

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Was hast du denn gerechnet?

Was hast du als Radius des Zylinders?

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Der Radius des Zylinders beträgt bei mir 4cm.

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Ich habe jetzt nicht gerechnet, scheint mir aber vernünftig, weil r ^{hoch 2} vorkommt und h nur ^{hoch 1}, müsste "doppelt so wichtig" sein, wie h.

h = 4cm?

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Genau. Ich schreibe gleich nochmal die vollständige Rechnung, wenn nötig.

Answer 1

Das  maximale Volumen ist 64π cm².

Answer 2

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet:

V_Zylinder = pi*x²*y    (Verwendung der Längenbezeichnungen auf der Skizze)

Daraus können wir eine Volumensfunktion erstellen:

V_Z(x) = pi*x²*y

Da y unbekannt ist, müssen wir es in anderer Form darstellen. Dazu können die Strahlensätze hilfreich sein:

^h/_r = ^y/_r-x

Mit der Skizze kann man diese Gleichung leichter nachvollziehen.

Aufgelöst nach y ergibt sich:

y = ^h/_r * (r-x)

Mit h = 12cm und r = 6cm erhalten wir für y (der Einfachheit halber lasse ich die Einheiten weg):

y = 2 * (6-x) = 12 - 2*x

Diesen Term können wir nun für y in unsere Volumensfunktion einsetzen:

V_Z(x) = pi*x²*(12-2*x) = -2*pi*x³ + 12*pi*x²

Bilden wir die erste und zweite Ableitung:

V'_Z(x) = -6*pi*x² + 24*pi*x

V''_Z(x) = -12*pi*x + 24*pi

Um nach Extrema zu suchen, setzen wir die erste Ableitung gleich Null:

V'_Z(x) = 0

-6*pi*x² + 24*pi*x = 0

x*(-6*pi*x + 24*pi) = 0

x₁ = 0

-6*pi*x + 24*pi = 0

24*pi = 6*pi*x

x₂ = ^24*pi/_6*pi = 4

Einsetzen der x-Werte in die zweite Ableitung:

V''_Z(x₁) = -12*pi*x₁ + 24*pi = 24*pi > 0 

Daraus folgt: Minimum bei x₁ = 0 (irrelevant für die Aufgabe)

V''_Z(x₂) = -12*pi*x₂ + 24*pi = -24*pi < 0 

Daraus folgt: Maximum bei x₂ = 4

Setzen wir diesen Wert nun in die Volumensfunktion ein:

V_Z(x₂) = -2*pi*x₂³ + 12*pi*x₂² = 64*pi ≈ 201.06

Das maximale Volumen beträgt also etwa 201,06cm³.

Maurice

Comments

Das sieht gut aus! Sehr schön.

Hatte gar nicht bemerkt, dass du deine Rechnung noch eingestellt hast.

Angezeigt wird mir das nur, wenn du auf meinen Kommentar oder meine Antwort eine Kommentar anfügst. Du hast hier aber eine eigenständige Antwort geschrieben.

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Das liegt denke ich daran, dass du die Frage als Gast reingestellt hast und dir danach einen Account angelegt hast.

Da du jetzt einen Account besetzt kannst du die Frage als deine markieren, da müsse irgendwo hier auf der Seite eine Schaltfläche sein. Danach würde ich mich über einen Stern sehr freuen.

Maurice

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Ich habe gedacht, das sei deine Frage gewesen und du hättest dich inzwischen angemeldet ;)

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Achso, dann dachten wir also beide voneinander, Fragesteller zu sein.^^