Differenzengleichung. Laut Modell werden nicht mehr als 30000dm^2 durch die Pflanzenkultur belegt sein?

Question

Wie kann es sein dass das stimmt?

Eine Pflanzenkultur vermehrt sich. Für die von den Pflanzkultur belegte Fläche y_n nach n Wochen gilt: y_n+1=0.99y_n+300, y₀=1

Aussage: Laut diesem Modell werden nicht mehr als 30000dm^2 durch die Pflanzenkultur belegt sein?

Warum stimmt das?

Comments

Setze doch mal yn=30000 ein.

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\(\lim\limits_{n \to \infty}\left( 30000-29999\cdot 0.99^n\right) = 30000\)

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y_n+1=0.99y_n+300 y₀=1 bedeutet y_n+1 ist für alle n gleich 1, also ist auch y_n=1. Dann ist 0.99+300 y₀=1 und y₀=0,01/300=1/30000

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@Roland: Warum das denn?

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Wenn \( y_0 = 1 \) gilt, folgt doch \( y_1 = 300.99 \) oder? Und wieso soll \( y_0 = \frac{1}{30000} \) sein, wenn doch \( y_0 = 1 \) gelten soll?

Answer 1

Mach den üblichen Ansatz

$$ y_n = \lambda^n $$ für die homogene Differenzengleichung (ähnlich wie bei den Dgl.) dann folgt $$ \lambda^{n+1} = 0.99 \lambda^n $$ also $$ \lambda = 0.99 $$

Die allg. homogene Lösung sieht dann so aus $$ y_n = C \cdot 0.99^n $$ Für eine partikuläre Lösung mache den Ansatz $$ y_n = K $$ Dann folgt $$ K = 0.99 K +300 $$ also $$  K = 30000 $$ Insgesamt hast Du also als Lösung

$$ y_n = C \cdot 0.99^n +30000 $$ Aus $$ y_0 = 1 $$ folgt $$ C = -29999 $$

Damit hast Du als allg. Lösung

$$ y_n = -29999 \cdot 0.99^n + 30000 $$ Da $$ 0.99^n \to 0 \text{ für } n \to \infty $$ gilt, ist die obere Grenze 30000, wie gefordert.