Berechnen Sie die Betragsungleichungen

Question

Aufgabe: Ix-2I > x^2

Aufgabe: x - I2x+4I > 1 - Ix-2I

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Betragsungleichung

Answer 1

   Aufgabe: Ix-2I > x²

Fallunterscheidung

Fall 1  x-2>0; dann ist x-2>x²  oder 0>x²-x+2. Der Lösungsbereich hat keine reellen Grenzen.

Fall 1  x-2<0; dann ist 2-x>x²  oder 0>x²+x-2. Der Lösungsbereich hat die Grenzen x=1 und x=-2.

Eine Punktprobe tührt zum Intervall (-2;1) als Lösungsmege

Answer 2

x - I2x+4I > 1 - Ix-2I

stelle zuerst fest, für welche x  der Term in den Beträgen jeweils positiv ist:

2x+4 ≥ 0  ⇔ x ≥ -2     ,    x-2 ≥ 0  ⇔ x ≥ 2

Damit hast du drei Intervall, in denen keiner der Terme in den Beträge das Vorzeichen wechselt:

             ]  - ∞ ; -2 [     ,    [ -2 ; 2 ]    ,    ] 2 ; ∞ [

2x+4           -                        +                  +

  x-2            -                        -                   +

Jetzt kannst du die Unleichung  für jeden der 3 Fälle betragsfrei  schreiben:

Bei +  Betrag durch Klammern ersetzen.

Bei -  Betrag durch Klammern ersetzen und den Term im Betrag negativ nehmen.

1. Fall: x ∈   ]  - ∞ ; -2 [

          x - (-2x-4) > 1 - (-x+2)   ⇔  ...  x > -5/2  →  L₁ = ] -5/2 ; -2 [

2. Fall: x ∈ [ -2 ; 2 ]

          x - (2x+4) > 1 - (-x+2)  ⇔ ...  ⇔  x < - 3/2   →  L₂ = [ -2 ; -3/2 [

3. Fall: x ∈   ] 2 ; ∞ [

          x - (2x+4)  > 1 - (x-2)  ⇔ ...    →  L₃ = { }

Die Vereinigung der 3 Teillösungsmengen ergibt  L = ] -5/2 ; -3/2 [

Gruß Wolfgang