Ja,
|x-y+y|=|x|-|y|+|y|
gilt, weil du auf beiden Seiten eine 0 addierst und deshalb nichts dran änderst. Das hilft dir aber bei diesem Beweis nicht wirklich weiter - zumindest sehe ich es nicht auf dem ersten Blick.
Ich erkläre dir den Beweis mal, damit du den besser verstehst.
Wir wollen die Ungleichung
\( |x| − |y| ≤ |x − y| \)
zeigen.
Dazu betrachten wir ein beliebiges x mit
\( |x|. \)
Wir wissen nun, dass es keinen Schaden anrichtet, wenn wir eine 0 hinzuaddieren
\( |x| = |x-y+y| \).
Jetzt verwenden wir die Dreiecksungleichung, also \( |a+b| \leq |a| + |b| \). Wobei hier unser \( a = x-y \) und \( b = y \) ist:
\( |x-y+y| \leq |x-y| + |y| \).
Wir haben also nun eine "Ungleichungskette" der Form
\( |x| = |x-y+y| \leq |x-y| + |y| \),
die wir auch kürzer schreiben können also
\( |x| \leq |x-y| + |y| \).
Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten mit \( |y| \) und erhalten so
\( |x| - |y| \leq |x-y| + |y| - |y| = |x-y| \),
also
\( |x| - |y| \leq |x-y| \),
was zu zeigen war.
