Zeigen Sie, dass für alle a, b, c gilt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für alle \( a, b, c \in \mathbb{R}_{+} \) gilt:
$$ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} $$
Hinweis: Verwenden Sie die folgende Ungleichung zwischen dem harmonischen und arithmetischen Mittel
\( \frac{3}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}} \leq \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3} \) mit einer geeigneten Wahl der \( x_{1}, x_{2}, x_{3} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe als x1, x2, x3 a,b,c gewählt. Durch Umformen der Ungleichung im Hinweis erhalte ich 6 ≤ (b+c/a) + (a+b/c) + (a+c/b). An dieser Stelle komme ich nicht weiter, irgendwie muss es wohl möglich sein den Kehrwert zu bilden.

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{\Leftrightarrow}\;\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}$$$$\Leftrightarrow\;\frac{a}{b+c}+\underbrace{\frac{b+c}{b+c}}_{=1}+\frac{b}{a+c}+\underbrace{\frac{a+c}{a+c}}_{=1}+\frac{c}{a+b}+\underbrace{\frac{a+b}{a+b}}_{=1}\ge\frac{3}{2}+3$$$$\Leftrightarrow\;\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge\frac{9}{2}$$$$\Leftrightarrow\;(a+b+c)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{9}{2}$$$$\Leftrightarrow\;\frac{1}{a+b+c}\cdot\frac{1}{\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)}\le\frac{2}{9}$$$$\Leftrightarrow\;\frac{1}{\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)}\le\frac{2(a+b+c)}{9}$$$$\Leftrightarrow\;\frac{3}{\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)}\le\frac{a+b+c+a+b+c}{3}$$$$\Leftrightarrow\;\frac{3}{\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)}\le\frac{(b+c)+(a+c)+(a+b)}{3}\quad\checkmark$$

Answer 2

Versuche es mal mit \( x=\frac{b+c}{a} \), \( y=\frac{c+a}{b} \), \( z=\frac{a+b}{c} \)

Comments

Daraus entsteht das selbe Muster: 6  ≤ eine Summe an Brüchen, die sich nicht vereinfachen lassen?

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Da entsteht \(2\ge \frac{3}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}}\).

Jetzt kann vielleicht gezeigt werden, dass \(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\) wiederum ≥2 ist.

Ich korrigiere: Es KANN gezeigt werden.

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Ich komme nicht auf die Gleichung...