Finden Sie alle Werte und stellen Sie den Ausdruck in Normalform dar: z = a + ib

Question

Aufgabe:

\( \sqrt{\frac{4 \cos \frac{2 \pi}{3}+4 i \sin \frac{2 \pi}{3}}{(i-3)^{2}}} \)

Finden Sie alle Werte und stellen Sie den Ausdruck in Normalform dar: z = a + ib

Ich weiß leider nicht, wie es möglich ist diese Aufgabe zu lösen (hoffe sie wird richtig dargestellt)

Problem/Ansatz:

Allgemein gilt ja, wenn c der Betrag (Hypotenuse), a der Realteil und b der Imaginärteil ist

b = sin(phi) * c

a = cos(phi) * c

Das Problem ist, wenn ich das in der Form einsetze (mit dem TR - händisch, so wie vorgesehen faktisch unmöglich?) - komm ich auf 3,99 und 0,1 (wenn das richtig wäre), wäre eine Teilaufgabe schon gelöst, nur fraglich, wie man das händisch ausrechnen soll - außerdem verstehe ich leider nicht wirklich, wie bezüglich der verschiedenen auszurechnenden Werte vorzugehen ist - würde mich daher sehr über eure Hilfe freuen.

Vielen, vielen Dank schon mal :)

Answer 1

Aloha :)

$$z=\sqrt{\frac{4\cos\frac{2\pi}{3}+4i\sin\frac{2\pi}{3}}{(i-3)^2}}=\sqrt{\frac{4e^{i\frac{2\pi}{3}}}{(i-3)^2}}=\pm\frac{2e^{\frac{i\pi}{3}}}{i-3}=\pm\frac{2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)}{i-3}$$$$\phantom{z}=\pm\frac{2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\right)}{i-3}=\pm\frac{1+i\sqrt3}{i-3}=\pm\frac{(1+i\sqrt3)(i+3)}{(i-3)(i+3)}=\pm\frac{i+i^2\sqrt3+3+i3\sqrt3}{i^2-9}$$$$\phantom{z}=\mp\frac{(3-\sqrt3)+i(1+3\sqrt3)}{10}\approx\mp(0,1268+0,6196\,i)$$

Normalerweise ist die Quadratwurzel einer rellen Zahl immer \(\ge0\) definiert. Deswegen schreibt man z.B. bei der Lösung von \(x^2=2\) explizit ein Plus-Minus-Symbol vor die Wurzel, also \(x=\pm\sqrt2\). Bei komplexen Zahlen gibt es jedoch keine Ordnungsrelation und wir sollen lt. Aufgabenstellung alle Wurzeln angeben. Daher habe ich oben die Wurzel gezogen und das Plus-Minus-Zeichen explizit davor gesetzt.

Comments

Vielen, vielen Dank - das veraunschaulicht das ganze auch - ohne Beispiele ist es schwierig, weiß gar nicht, was ich sagen soll (kämpfe mit dem Blödsinn schon seit Monaten) - nur es ist soviel anderes zu lernen (Youtube Videos sind auch nicht wirklich sinnvoll ohne Beispiele) - aber jetzt für die Abschlussprüfung hät ich gern das meiste verstanden :) Und die Wurzel operiert eine Ebene niedriger das heißt 3/2 ^(1/3) als Winkel ist quasi => 3 / 2 *3 => 1/3?

Und nochmal vielen vielen Dank :)

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Ich verstehe nur einen kleinen Schritt nicht, wieso hast du im Nenner beim letzten Schritt kein Minus, das verwirrt mich gerade noch :D

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Es gilt ja \(\sqrt x=x^{\frac{1}{2}}\). Das habe ich beim Wurzelziehen oben ausgenutzt. Ich schreibe das mal mit Zwischenschritten hin:$$\sqrt{\frac{4e^{i\frac{2\pi}{3}}}{(i-3)^2}}=\left(\frac{4e^{i\frac{2\pi}{3}}}{(i-3)^2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{\left(4e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}}{\left((i-3)^2\right)^{\frac{1}{2}}}=\frac{4^\frac{1}{2}\cdot e^{i\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{1}{2}}}{(i-3)^{2\cdot\frac{1}{2}}}=\frac{2e^{\frac{i\pi}{3}}}{i-3}$$Du musst halt noch beachten, dass es bei komplexen Zahlen immer 2 Quadratwurzeln gibt, daher habe ich oben noch das \(\pm\) ergänzt.

Beim letzten Schritt habe ich im Nenner ein Minus gemacht und dieses Minus direkt vor den Bruch gezogen. Wenn du genau hinschaust, erkennst du, dass das Vorzeichen von \(\pm\) zu \(\mp\) gewechselt ist.

Answer 2

Hallo

sin und cos für ein paar wenige Werte kenn man einfach, wenn nicht: Gleichseitiges Dreieck mit Höhe gibt die Werte für 30° und 60°  , halbes Quadrat die für 45°

damit ist cos(120)=-cos(60°)= -1/2 , sin(120(=sin(60)=1/2*√3,   sin(45)=cos(45)=1/2√2

di 4 zieht man aus der Klammer, erweitert mit  dem konjugierten des Nenners.

allerdings Wurzeln zieht man am einfachsten mit der Form z=r*e^iφ und erst anschließend in a+ib verwandeln

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort, habe leider eine fehlende Vorausbildung, höre immer nur von diesem e^ (wenn ich das in den TR eingebe komm nichts sinnvolles) - in der Uni wurde es nie besprochen, sinnvolle Videos gibt es auch nicht, und ich habe 0 Plan wie ich das umwandle, vor allem betreffend Wurzel, Bruch usw.

Du würdest mir wirklich sehr weiterhelfen - danke :)