Parabelgleichung aufstellen, Unterschied Scheitelpunktform und allgemeine Form

Question

folgende Angabe:

Ein Wasserstrahl tritt in einer Höhe von 1 m aus. Nach 3 m horizontaler Entfernung vom Austrittsort erreicht der Strahl eine maximale Höhe von 2,5 m. Ermitteln Sie jene Polynomfunktion 2. Grades, welche die Höhe h des Wasserstrahls in Abhängigkeit von der horizontalen Entfernung x vom Austrittsort des Wassers beschreibt.

Ich habe das Beispiel  folgendermaßen gelöst:

1. Punkt 0/1

2. Punkt 3/2.5

da ich aber drei Punkte brauche um die Funktionsgleichung aufzustellen habe ich

3. die Erste Ableitung gebildet mit den Werten von Punkt 3

dann habe ich 3 Gleichungen die ich über ein LGS lösen kann

ABER

Warum kann ich nicht einfach die Scheitelpunktform mit dem Punkt 3/2.5 bilden und dann einen anderen Punkt einsetzen wie z.B. 0/1 um a zu bestimmen und die Funktionsgleichung zu bestimmen? Ich habe es versucht aber es kommt nicht das gleiche heraus.

Wann benutze ich die Scheitelpunktform und wann nicht? Ich kann das leider aus den Textbeispielen schwer herausfinden. Vielleicht kann mir jemand praxisnahe Tipps geben?  Wie viele Methoden gibt es um eine Parabelgleichung aufzustellen, ohne Punkte abzulesen? Ich danke euch für eure Mühe.

Lg

Tom

Comments

Wann benutze ich die Scheitelpunktform und wann nicht? Ich kann das leider aus den Textbeispielen schwer herausfinden.

Wenn du den Scheitelpunkt kennst kannst du immer die Scheitelpunktform nehmen. Das macht eigentlich sehr viel Sinn.

Answer 1

Ein Wasserstrahl tritt in einer Höhe von 1 m aus. Nach 3 m horizontaler Entfernung vom Austrittsort erreicht der Strahl eine maximale Höhe von 2,5 m. Ermitteln Sie jene Polynomfunktion 2. Grades, welche die Höhe h des Wasserstrahls in Abhängigkeit von der horizontalen Entfernung x vom Austrittsort des Wassers beschreibt.

P(0 | 1)

S(3 | 2.5)

a = (1 - 2.5) / (0 - 3)^2 = -1/6

h(x) = -1/6·(x - 3)^2 + 2.5

~plot~ -1/6*(x-3)^2+2.5;[[0|8|0|6]] ~plot~

Answer 2

Dann hast du dich verrechnet.

Mit f(0)=1, f(3)=2.5 und f'(3)=0 erreichst du die FG \(f(x)=-\dfrac{x^2}{6}+x+1\)

Über die Scheitelpunktform: \(f(x)=a(x-3)^2+2.5\) erhältst du für a nach dem Einsetzen von (0|1):

\(1=a(0-3)^2+2.5 \Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{6}\).

Answer 3

Hallo

 Scheitel bei (3,2.5) muss die richtige Gleichung ergeben, aber um deinen Fehler zu sehen, müsste man deine 2 Wege sehen. Sie müssten (ohne Rechenfehler) gleich sein.

Gruß lul

Answer 4

Diese Aufgabe eignet sich vortrefflich um die scheitelpunktform anzuwenden. Ich weiß nicht warum du nicht das gleiche heraus bekommst. Aber wenn du deine Rechnung mal einstellen würdest, könnte man es vielleicht herausfinden. Die scheitelpunktform eignet sich immer dann in besonderem Maße wenn man zwei Punkte gegeben hast, wovon einer der Scheitelpunkt ist.

Wir setzen die Scheitelpunktform an und setzen dabei für x und y direkt den Punkt 0/1 ein.

1=a*(0-3)^2+2,5

1=9a+2,5

-1,5/9=a

a=-1/6

y=-1/6*(x-3)^2+2,5

  =-1/6*(x^2-6x+9)+2,5

  =-1/6*x^2+x-3/2+5/2

  =-1/6*x^2+x+1

Answer 5

Warum kann ich nicht einfach die Scheitelpunktform mit dem Punkt 3/2.5 bilden und dann einen anderen Punkt einsetzen wie z.B. 0/1 um a zu bestimmen 

Kannst du, dann erhältst du die richtige Gleichung:

  f(x) = -1/6 · (x - 3)² + 2,5  (Scheitelform)

3. die Erste Ableitung gebildet mit den Werten von Punkt 3

Ansatz f(x) = ax² + bx + c   ,   f '(x) = 2ax + b

Was meinst du mit "den Werten von Punkt 3"?
Es muss einfach 3) f '(3) = 0 gelten.

mit 1) und 2) erhältst du dann mit dem LGS mit 3 Unbekannten auch eine richtige Gleichung:

 f(x) = - x^2/6 + x + 1 (Normalform)

Nachtrag:

Wenn du die Scheitelform ausmultiplizierst erhältst du die Normalform

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank an alle die geantwortet haben. Ich habe jetzt das Beispiel erneut nachgerechnet. Es kommt bei mir jetzt auch über die Scheitelpunktform die richtige Lösung.

Ich glaube ich habe die Problematik jetzt verstanden. Wenn in der Angabe ein Scheitelpunkt steht , oder ein Hinweis auf ein Maximum, werde ich jetzt immer über die Scheitelpunktform die Funktionsgleichung bestimmen. Wenn nur drei Punkte gegeben sind über drei LGS Gleichungen