Summenformel für ungerade Zahlen herleiten und beweisen

Question

Man berechne 1 + 3, 1 + 3 + 5 und 1 + 3 + 5 + 7, leite eine allgemeine Formel für

 
her und beweise diese durch Induktion über n ∈ N.

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Hier findest du übrigens deine eigenen Fragen wieder: https://www.mathelounge.de/user/Chala/questions

Und hier steht, wie du deine Fragen stellen sollst https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Answer 1

$$\sum \limits_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2$$

Bew:  n=1  :

$$\sum \limits_{k=1}^{1}(2k-1)=1^2$$

              <=>          1 = 1   (w)

Gelte: #     $$\sum \limits_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2           $$

Dann ist zu zeigen $$\sum \limits_{k=1}^{n+1}(2k-1)=(n+1)^2$$

Das kann man so begründen:

 $$\sum \limits_{k=1}^{n+1}(2k-1)=\sum \limits_{k=1}^{n}(2k-1)   +  2(n+1) - 1 $$

wegen # also     = n^2 +   2(n+1) - 1 = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2   q.e.d.

Answer 2

Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n².

Addiert man die nächste ungerade Zahl 2n+1, so entsteht n²+2n+1=(n+1)².    

Answer 3

Hallo

 schreib die Summe einmal von vorn, einmal von hinten untereinander, addiere, dann hast du 2 mal die Summe.

Gruß lul