Ein Ton in der Musik kann im einfachsten Fall durch eine Sinusfunktion s mit s(t) = a ∙ sin(b ∙ t) für a, b ∈ ℝ+ beschrieben werden. Bei einer derartigen Sinusschwingung wird der maximale Funktionswert als Amplitude bezeichnet. Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde wird als Frequenz f bezeichnet und in Hertz (Hz) angegeben.
Für die Frequenz f gilt: f = 1/T (mit T in Sekunden), wobei T die (kleinste) Periodenlänge der jeweiligen Sinusschwingung ist (T ∈ ℝ+).
Drei bestimmte Töne werden mithilfe der nachstehenden Funktionen h1, h2 und h3 beschrieben.
Die Zeit t (t ≥ 0) wird dabei in Millisekunden (ms) gemessen.
h1(t) = sin(2 ∙ π ∙ t)
h2(t) = sin(2,5 ∙ π ∙ t)
h3(t) = sin(3 ∙ π ∙ t)
Die Überlagerung mehrerer Töne bezeichnet man als Klang.
Die Funktion h mit h(t) = h1(t) + h2(t) + h3(t) beschreibt einen Klang.
Der Schalldruck eines Tons ist zeitabhängig und kann durch die Funktion p mit p(t) = p ∙ sin(ω ∙ t) beschrieben werden. Dabei sind p und ω Konstanten.
Der Schalldruck wird in der Einheit Pascal (Pa) angegeben.
Aufgabenstellung:
a) Geben Sie für einen Ton, der mithilfe der Funktion g mit g(t) = sin(c ∙ π · t) mit c ∈ ℝ+ und t in ms beschrieben wird, eine Formel für die Periodenlänge T (in ms) in Abhängigkeit von c an!
Der Effektivwert peff des Schalldrucks einer Sinusschwingung mit der Periodenlänge T (in ms)
kann mit der Formel peff = \( \sqrt{\frac{1}{T}*\int\limits_{0}^{T}p²(t)dt} \)
Berechnen Sie den Effektivwert des Schalldrucks eines Tons, wenn p = 1 und ω = 2 ∙ π gilt!
Meine Überlegungen:
Einsetzen:
\( \sqrt{\frac{1}{1}*\int\limits_{0}^{1}1*sin(2*π*t)²dt} \)
= \( \sqrt{1*sin(2*π*1)^2} \)
=\( \sqrt{sin(6.2839)²} \)
=\( \sqrt{sin(39.4784..} \)
=0.797
Hier soll jetzt 0.71 pa rauskommen, aber die bekomme ich nicht raus.. Habe ich einen Fehler gemacht?
