Ring mit b ↦ aba^(-1). Zeigen, dass Konjugation ein Ringhomomorphismus ist

Question

 Gegeben sei ein Ring R und ϕa ∶ R → R mit b ↦ aba^(-1)

für ein a ∈ R. Zeigen Sie, dass die Konjugation
ein Ringhomomorphismus ist. (Dabei sei a nicht das Nullelement und insbesondere ein Element, für
das ein multiplikativ Inverses existiere).

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Vom Duplikat:

Titel: Ringhomomorphismen konj.

Stichworte: homomorphismus,ring

Aufgabe:

Gegeben sei ein Ring R und

φa ∶ R → R mit b ↦ aba^-1 für ein a ∈ R.

 Zeigen Sie, dass die Konjugation ein Ringhomomorphismus ist. (Dabei sei a nicht das Nullelement und insbesondere ein Element, für das ein multiplikativ Inverses existiere).

Problem/Ansatz:

Versteh einfach nicht wie ich das zeigen soll... :(

Answer 1

Φ_a(x+y) = a * (x+y) * a^(-1)

               = (a * x+ a*y) * a^(-1)

                 = a * x * a^(-1)  + a*y * a^(-1)

                 Φa(x) + Φa(y)  .

Φa(x*y) = a * (x*y) * a^(-1)

und es gibt ja offenbar ein 1-Element

           = a * (x*1*y) * a^(-1)

             = a * (x*(a^(-1)*a)*y) * a^(-1)

               = ( a * x*a^(-1) )  *   (a*y * a^(-1) )

             =   Φa(x) *  Φa(y)  .

Comments

Die Aufgabe heißt eigentlich aba^-1 glaub ich ... gilt die Rechnung dennoch ?

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???  Für einen Ringhomomorphismus musst du zwei Dinge zeigen

für alle x,y aus dem Ring:

1.  Φa(x+y) =      Φa(x) + Φa(y)  .

2.   Φa(x*y) =   Φa(x) *  Φa(y)  .

Das b aus der Def.  ist also immer passend zu ersetzen.