Geradenschnittpunkte bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden drei Geraden im \(\mathbb{R}^4\):

\(G_1=\{\begin{pmatrix} 1\\7\\-3\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\-2\\1\\0\end{pmatrix}\mid \lambda \in \mathbb{R}\}\)

\(G_2=\{\begin{pmatrix} -1\\3\\-1\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\\0\end{pmatrix}\mid \lambda \in \mathbb{R}\}\)

\(G_3=\{\begin{pmatrix} -1\\1\\0\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\mid \lambda \in \mathbb{R}\}\)

a) Bestimmen Sie die drei Schnittpunkte \(S_1=G_1\cap G_2, S_2=G_2\cap G_3, S_3=G_1\cap G_3\) In welchem Winkel schneiden sich die Geraden jeweils.

b) Die drei Schnittpunkte bilden zusammen ein Dreieck im \(\mathbb{R}^4\). Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks.

c) Geben Sie eine Ebene an, die das Dreieck vollständig enthält.

Problem/Ansatz:

Ich habe herausgefunden, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind: \( -1 \cdot \left(\begin{pmatrix}0\\-2\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} \right)=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\\0\end{pmatrix}\). Also \(-1\cdot(V_{G_1}+V_{G_2})=V_{G_3}\)

Damit weiß ich, dass der Richt.vekt von G_1 und \(G_2\) zusammen den Richtungsvektor von \(G_3\) bilden und \(G_3\) aus den beiden anderen Geraden entsteht. Leider weiß ich nicht, wie ich das in dieser Aufgabe effektiv nutzen kann.

Ich habe für den Schnittpunkt \(S_1=\emptyset\) herausbekommen, da die beiden Geraden windschief zueinander liegen. Danach ist mir dieser Zusammenhang aufgefallen und ich hatte diese Frage.

Answer 1

G1 = G2

[1, 7, -3, 1] + r·[0, -2, 1, 0] = [-1, 3, -1, 1] + s·[-1, 2, -1, 0] --> r = 4 ∧ s = -2

Schnittpunkt

S1 = [1, 7, -3, 1] + 4·[0, -2, 1, 0] = [-1, 3, -1, 1] - 2·[-1, 2, -1, 0] = [1, -1, 1, 1]

Schnittwinkel

COS(α) = ABS([0, -2, 1, 0]·[-1, 2, -1, 0]) / (ABS([0, -2, 1, 0])·ABS([-1, 2, -1, 0])) = √30/6

α = ARCCOS(√30/6) = 24.09°

Rechne das jetzt mal nach und mach es dann für die anderen 2 Schnittpunkte nach. Schaffst du das zunächst?

Comments

Ok, danke. Also einfach gleichsetzen dann die Parameter berechnen und einsetzen.

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Richtig. Weitere Schnittpunkte sind zur Kontrolle:

[1, 1, 0, 1] und [0, 1, 0, 1]

Solltest du wieder erwarten nicht auf die Ergebnisse kommen melde dich einfach noch mal.

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Danke, ich rechne das nachher Mal nach und melde mich, falls ich noch fragen habe!

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Du hast einen kleinen Fehler gemacht, es ist \(-\sqrt(30/6)\) und damit 155,x°

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Und jetzt überlege mal warum ich sage das mein Ergebnis trotzdem richtig ist.

Falls du nicht genau weißt warum lies dir mal den sehr guten Artikel unter

https://www.mathebibel.de/schnittwinkel-zweier-geraden

vollständig durch.

Übrigens: √30/6 ≠ √(30/6)

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Danke, ja habe ich ubersehen, dass man ja entweder den stumpfen oder spitzen berechnen kann. Das mit der Wurzel war ein Schreibfehler, stimmt.

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Beim Schnittwinkel zweier Geraden gibt man stets den spitzen Winkel an:

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Alles klar, vielen Dank!

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Für die Aufgabe c brauche ich einfach nur einen Aufpunkt einer der Geraden und dann zwei Richtungsvektoren der jeweilig beteiligten Gerade, oder?

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Für die Aufgabe c brauche ich einfach nur einen Aufpunkt einer der Geraden und dann zwei Richtungsvektoren der jeweilig beteiligten Gerade, oder?

Ganz genau.

Answer 2

"Damit weiß ich, dass G₁ und G₂ zusammen G₃ bilden und G₃ aus den beiden anderen Geraden entsteht."

Das gilt nur für die Richungsvektoren und nicht für die Geraden.

"Leider weiß ich nicht, wie ich das in dieser Aufgabe effektiv nutzen kann."

Gar nicht.

Comments

Ich meinte die Richtungsvektoren von den Geraden, korrigiert.

Answer 3

Ich habe herausgefunden, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind: \( -1 \cdot \left(\begin{pmatrix}0\\-2\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} \right)=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\\0\end{pmatrix}\). Also \(-1\cdot(G_1+G_2)=G_3\) Damit weiß ich, dass \(G_1\) und \(G_2\) zusammen \(G_3\) bilden und \(G_3\) aus den beiden anderen Geraden entsteht. Leider weiß ich nicht, wie ich das in dieser Aufgabe effektiv nutzen kann. Ich habe für den Schnittpunkt \(S_1=\emptyset\) herausbekommen, da die beiden Geraden windschief zueinander liegen.

(1) Die lineare Abhängigkeit der Richtungsvektoren ist nicht weiter verwunderlich, denn in allen drei Fällen ist \(x_4=0\).

(2) Die daraus gefolgerte Aussage \(-1\cdot(G_1+G_2)=G_3\) ist meiner Meinung nach nicht sinnvoll. Was soll das denn heißen?

(3) Wenn zwei der drei Geraden windschief zueinander lägen, stünde das im Widerspruch zu der Angabe in der Aufgabenstellung, nach der sie sich jeweils schneiden sollen.

Comments

Sry, ich meinte die Richtúngsvektoren