Zu jedem q ≥ 1 existieren rationale Zahlen a_{k,q}, 1 ≤ k ≤ q − 1, so dass eine Summe gilt.

Question

Zeigen Sie: Zu jedem q ≥ 1 existieren rationale Zahlen a_k,q, 1 ≤ k ≤ q − 1, so dass

\( s_{n}(q)=\frac{1}{q+1} n^{q+1}+\frac{1}{2} n^{q}+\sum \limits_{k=1}^{q-1} a_{k, q} n^{q-k} \)

Ansatz/Problem:

Mir ist leider unklar wie ich den Beweis angehen soll. Induktion? Umstellen? Zuvor wurde noch die Pascalsche Identität gezeigt,

$$ \sum_{p=0}^q \binom{q+1}p s_n(p)=(n+1)^{q+1} - 1 $$

aber die kann ich hier ja nicht wirklich benutzen, weil $$s_n(p)$$ sich ja auf p und nicht auf q bezieht, oder?

Comments

Es muss sicher heißen:

Zu jedem q > 1 existieren rationale Zahlen a_k,q,  1 ≤ k ≤ q − 1, so dass ...

Denn für q = 1 existieren sicher keine Zahlen für die gilt: 1 ≤ k ≤ q - 1 = 0

 

Im übrigen muss in der Aufgabestellung wohl auch noch etwas Einschränkendes über s_n( q ) stehen, denn für beliebiges s_n( q ) ist der "Beweis" recht einfach:

Indem ich s_n( q ) so setze wie angegeben, gilt die Behauptung.

Was also ist s_n ( q ) ?

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q ≥ 1 steht tatsächlich so. Aber vorher gab es eine Aufgabe, mit der ich so auch nicht zurechtkomme ehrlich gesagt.:

Es sei im Folgenden s_n(p) = _{k =}ⁿ₁Σ k^p

Zeigen Sie durch Induktion über n und mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die
Pascal'sche Identität:

_{p =}^q₀∑ (^{q +}_p¹)s_n(p) = (n+1)^q+1 - 1.

Folgern Sie, dass s_n(4) = (1/30)n(n + 1)(2n + 1)(3n² + 3n - 1).

 

Danach folgt die oben genannte Aufgabe.

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Nun, das ist ja die gesuchte Einschränkung von s_n ( q ) .

Somit ist s_n ( q ) also die Summe der ersten n q-ten Potenzen, also:

s_n ( q ) = 1 ^q + 2 ^q + 3 ^q + ... + n ^q

 

Überprüfe aber bitte nochmals folgenden Satz:

Zu jedem q ≥ 1 existieren rationale Zahlen a_k,q,  1 ≤ k ≤ q − 1, so dass ...

Irgendetwas daran muss "faul" sein, denn für q = 1 ergibt sich daraus:

1 ≤ k ≤ 0

und das ist nun einmal eine falsche Aussage.

 

Interessant zu wissen wäre vielleicht noch, was a_k,q bedeuten soll, inwiefern also durch a_k,q rationale Zahlen bezeichnet werden. Wird dazu in der Aufgabenstellung noch etwas gesagt?

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Sind q und k reelle oder natürliche Zahlen und nur a_q,k rational?

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Keine Ahnung. s_n (q) = (n tief q) oder umgekehrt?

Oder eventuell s_n ( q ) = 1 ^q + 2 ^q + 3 ^q + ... + n ^q also die Definition im Link? 

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Beinhaltet zu wenig Infos, man weiss nicht was s_n ist, obwohl das meiner Meinung nach sehr wichtig ist.

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Hi, mir scheint die Fragestellung nicht komplett zu sein. Natürlich kann man \( S_n(q) \) so definieren wie Du hingeschriebenn hast, und zwar für jede Folge \(a_{k,q} \) Also irgendeine zusätzliche Bedingung scheint zu fehlen.