Doppelsumme berechnen 1/k^n

Question

Aufgabe:

Berechne die Doppelsumme:

\( \sum\limits_{n=2}^{\infty}{\sum\limits_{k=2}^{\infty}{1/(k^n) }} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe zunächst die summenzeichen getauscht  wodurch sich als innere Summe eine geometrische Reihe ergeben hat. Davon habe ich die Werte für n=1 und n=2 abgezogen und die geometrische Summenformel angewandt. Dann ergibt sich folgendes:

\( \sum\limits_{k=2}^{\infty}{(1/(1-(1/k)))-(1/k)-(1/k^2)} \)

= \( \sum\limits_{k=2}^{\infty}{k/(k-1)} \)-\( \sum\limits_{k=2}^{\infty}{(k-1)/k^2} \)

Ab hier komme ich leider nicht mehr weiter.

Answer 1

Du solltest besser den nullten und ersten Summanden abziehen.$$\sum_{n=2}^\infty\left(\frac1k\right)^n=\frac1{1-\frac1k}-\frac1k-1=\frac1{(k-1)k}.$$$$\sum_{k=2}^\infty\frac1{(k-1)k}=\sum_{k=2}^\infty\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)=1.$$

Comments

Kannst du vielleicht deinen letzten Schtitt nochmal erklären?

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Die Summe all dieser Differenzen ist 

\( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \)  +\( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \)  +\( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \)  +...

Mit Ausnahme des ersten Summanden und des "letzten Summanden " der Form

\( \frac{1}{\infty}  \)  hebt sich zwischendurch alles auf.